나무 자르기

문제

상근이는 나무 M미터가 필요하다. 근처에 나무를 구입할 곳이 모두 망해버렸기 때문에, 정부에 벌목 허가를 요청했다. 정부는 상근이네 집 근처의 나무 한 줄에 대한 벌목 허가를 내주었고, 상근이는 새로 구입한 목재절단기를 이용해서 나무를 구할것이다.

목재절단기는 다음과 같이 동작한다. 먼저, 상근이는 절단기에 높이 H를 지정해야 한다. 높이를 지정하면 톱날이 땅으로부터 H미터 위로 올라간다. 그 다음, 한 줄에 연속해있는 나무를 모두 절단해버린다. 따라서, 높이가 H보다 큰 나무는 H 위의 부분이 잘릴 것이고, 낮은 나무는 잘리지 않을 것이다. 예를 들어, 한 줄에 연속해있는 나무의 높이가 20, 15, 10, 17이라고 하자. 상근이가 높이를 15로 지정했다면, 나무를 자른 뒤의 높이는 15, 15, 10, 15가 될 것이고, 상근이는 길이가 5인 나무와 2인 나무를 들고 집에 갈 것이다. (총 7미터를 집에 들고 간다) 절단기에 설정할 수 있는 높이는 양의 정수 또는 0이다.

상근이는 환경에 매우 관심이 많기 때문에, 나무를 필요한 만큼만 집으로 가져가려고 한다. 이때, 적어도 M미터의 나무를 집에 가져가기 위해서 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 나무의 수 N과 상근이가 집으로 가져가려고 하는 나무의 길이 M이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000,000, 1 ≤ M ≤ 2,000,000,000)

둘째 줄에는 나무의 높이가 주어진다. 나무의 높이의 합은 항상 M보다 크거나 같기 때문에, 상근이는 집에 필요한 나무를 항상 가져갈 수 있다. 높이는 1,000,000,000보다 작거나 같은 양의 정수 또는 0이다.

출력

적어도 M미터의 나무를 집에 가져가기 위해서 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 출력한다.

예제 입력1

4 7
20 15 10 17

예제 출력1

15

예제 입력1

5 20
4 42 40 26 46

예제 출력1

36

풀이방식

상근이라는 친구는 환경을 사랑하기 때문에 나무 자를 높이를 최대한 높이 설정해서, 적어도 M미터 만큼 가져가고 싶어한다. 즉 나무 자를 높이를 제일 높게 설정하고 난 뒤, M미터 이상 가져갈 수 있을 때가 정답 포인트이다. 이 문제는 순차 탐색으로 절대 안된다. 시간제한이 1초인데 나타날 수 있는 나무의 길이는 2,000,000,000이다. 약 1억번의 연산이 1초이니, O(N)이 아닌 O(logN)을 이용해서 풀어야 한다.

해당 문제는 길이를 기준으로 이분탐색을 진행해야 했다. start(0)와 end(가장 큰 나무의 높이)를 통해 나오는 mid값을 통해 자른 나무의 총 길이가 M보다 큰 경우와 작은 경우와 같은 경우에 따라 알고리즘을 설계하면 된다.

알고리즘

start와 end를 통해 구하는 mid값은 아래와 같다.

mid = (start + end) // 2

• 자른 나무의 총 길이가 M보다 큰 경우
  - 해당 값이 정답이 될 수 있으므로 따로 저장해둔다.
  - 더 높이 잘라도 되는지 체크해야하므로 start의 위치를 mid + 1로 변경한다.
• 자른 나무의 총 길이가 M보다 작은 경우
  - 더 낮게 잘라야 하므로 end의 위치를 mid - 1로 변경한다.
• 자른 나무의 총 길이가 M과 같은 경우
  - 정답이므로 따로 저장한다.
  

코드

import sys

def binarySearch(start, end):
    global result

    # 탈출 조건
    if start > end:
        return

    mid = (start + end) // 2  # 중간값 설정
    total = 0  # 잘린 나무의 총 길이 계산
    for item in array:
        if item >= mid:
            total += item - mid


    if total == M:  # 잘린 나무길이가 M과 정확히 일치하는 경우
        result = mid
    elif total > M:  # 잘린 나무길이가 M보다 큰 경우
        result = mid  # result에 해당 mid 값 저장. 적어도 M미터 얻어야 하기 때문
        binarySearch(mid + 1, end)  # start의 위치를 변경해줌
    else:  # 잘린 나무의 길이가 M보다 작은 경우
        binarySearch(start, mid - 1)  # end의 위치를 변경해줌

N, M = map(int, sys.stdin.readline().split())
array = list(map(int, sys.stdin.readline().split()))
result = max(array)
binarySearch(0, max(array))  # 0과 가장 긴 길이의 나무를 start와 end로 설정
print(result)