이코테-chapter 10: 그래프 이론-최소 신장(스패닝) 트리

신장 트리

정의 & 특징

• spaning tree
• 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미

크루스칼 알고리즘

• 신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장트리를 찾는 알고리즘을 최소 신장 트리 알고리즘이라 부른다.
• 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘으로는 크루스칼(kruskal algorithm) 알고리즘이 있다.
• 그리디 알고리즘으로 분류된다.
• 모든 간선에 대하여 정렬을 수행한 뒤에 가장 거리가 짧은 간선부터 집합에 포함시키면 된다.
• 알고리즘 구현방식은 아래와 같다.

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
3. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
4. 사이클이 발생한 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
5. 모든 간선에 대하여 2,3,4 번의 과정을 반복한다.

• 알고리즘의 핵심 원리는 가장 거리가 짧은 간선부터 차례대로 집합에 추가하면 된다는 것이다.
• 다만, 사이클을 발생시키는 간선은 제외하고 연결한다.

크루스칼 알고리즘 소스코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] == x:
        return x
    parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    
    return parent[x]  # 경로 압축

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)

    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 부모 테이블 초기화
parent = [x for x in range(v+1)]

# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인
for edge in edges:
    cost, a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

크루스칼 알고리즘의 시간 복잡도

• 간선의 개수가 e개일 때, O(e*loge)의 시간복잡도를 가진다.

출처 & 깃허브

이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with python

github