집합론(Set theory)

이 글은 책 The Dao of Functional Programming 서론에 나오는 집합론을 정리한 것이다.

카테고리 이론을 공부하기 위해서 집합론을 아주 잘 알아야 하는 것은 아니지만 기본은 알아야 한다.

집합은 원소를 포함한다.

집합 $S$와 원소 $a$가 주어졌을 때 $a$가 $S$의 원소인지 아닌지 물을 수 있다.

'$a$는 $S$의 원소이다'라는 문장을 아래와 같이 적는다.

$a \in S$

아무 원소도 갖고 있지 않은 집합도 있을 수 있다.

한 집합 안의 두 원소는 서로 같은지 비교할 수 있다.

두 집합 $S$와 $T$의 카르테시안 곱은 두 집합 모든 원소의 순서쌍으로 만든 집합을 말하고 아래처럼 적는다.

$S \times T$

$s \in S$이고 $t \in T$일 때 두 집합 모든 원소의 순서쌍을 아래처럼 적는다.

$\langle s,t \rangle$

함수 $f$는 아래처럼 적는데

$f : S \rightarrow T$

화살표 왼쪽에 적은 집합을 정의역(domain)이라 하고 오른쪽에 적은 집합을 치역(codomain)이라 한다.

함수도 아래처럼 두 집합 모든 원소의 순서쌍으로 정의할 수 있는데 이때 $t = f s$이다.

$\langle s,t \rangle$

$f s$는 함수 $f$에 인자 $s$를 넣은 결과이다.