📊 카이제곱 검정에 대하여 알아보자

대학교 데이터사이언스 입문 수업에서 진행한 과제 중에 가설검정 기법을 활용한 적이 있다.
그 중에서 카이제곱 검정을 사용해 범주형 변수 간의 관계를 살펴보았는데 당시에는 파이썬 함수로 검정을 수행하고
결과를 해석하는 데 집중했지만 정작 이 검정이 어떤 원리로 작동하는지, 왜 사용하는지는 깊게 이해하지 못한 채 넘어갔다. 그래서 이번에 카이제곱 검정에 대하여 자세히 알아보기로 했다.

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🍏 카이제곱 검정이란?

데이터 분석을 하다 보면 두 변수(칼럼)간의 관계가 단순한 우연인지 아니면 통계적으로 의미 있는지를 확인해야 할 때가 많다. 이런 경우 상관관계를 파악하고 그에 대한 통계적 검정이 필요하다.

이럴 때 사용하는 대표적인 검정 기법이 바로 카이제곱 검정이다.
카이제곱 검정은 카이제곱 분포에 기초하여 두 범주형 변수(칼럼) 사이의 관련성(독립성)을 검정하는 통계 방법으로, 우리가 관측한 빈도와 기대되는 빈도 사이의 차이가 우연일지 가능성이 얼마나 되는지를 판단해준다.

즉, "두 변수는 서로 관련이 없다(독립이다)"라는 귀무가설을 세우고, 실제 데이터가 이 가설을 얼마나 벗어나는지 분석하는 것이다. 만약 이 가설을 많이 벗어난다면 우리는 두 변수 사이에 통계적으로 유의한 관련이 있다고 판단할 수 있다.

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🧐 언제 사용할까?

일단 카이제곱 검정은 두 범주형 변수(칼럼) 사이의 관련성을 검정할 때 사용한다.
즉 한 변수의 범주(ex.성별)에 따라 다른 변수의 분포(예.정신건강 위험군)가 달라지는지를 알고 싶을 때 쓰인다.

예를 들자면,

• 성별과 제품 구매 여부가 관련 있는가?

• 직업군에 따라 특정 질병 발생률이 차이가 있는가?

• 복용한 약 종류와 부작용 발생 여부에 연관성이 있는가?

이 때 포인트는 두 변수 모두 범주형이라는 점이다.
겉보기에 숫자처럼 보이더라도 예를 들어 1 = 남성, 2 = 여성처럼 값이 단순한 분류(범주)를 나타내는 경우라면, 이산적 성격의 범주형 변수로 간주하고 카이제곱 검정을 적용할 수 있다.

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🎯 가설 설정 방법 - 귀무 가설과 대립 가설

카이제곱 검정을 하기 위해서는 먼저 두 가지 가설을 세워야 한다.
바로 귀무가설(H0)과 대립 가설(H1)이다.

귀무 가설(H0)

두 변수는 서로 독립적이다.
즉 한 변수의 범주에 따라 다른 변수의 분포가 변하지 않는다는 가정이다.

예를 들어 성별과 정신건강 위험군에 대한 분석이라면,

• H0 : 성별과 정신건강 위험군 분포는 서로 독립이다.

대립 가설(H1)

두 변수는 서로 독립이 아니다.
즉 한 변수의 범주에 따라 다른 변수의 분포가 유의미하게 달라진다는 뜻이다.

같은 예시에서 보자면,

• H1 : 성별에 따라 정신건강 위험군 분포에 차이가 있다.

요약

가설	의미
귀무 가설(H0)	두 변수는 서로 관련이 없다.(독립이다.)
대립 가설(H1)	두 변수는 서로 관련이 잇다.(독립이 아니다.)

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📐 카이제곱 검정 통계량 수식

카이제곱 검정에서 중심이 되는 것은 바로 카이제곱 통계량(χ²) 이다.
이 값은 관측된 데이터와 기대되는 데이터 간의 차이가 얼마나 큰지를 수치로 표현한 것이다.

검정 통계량 수식

• O: 관측 빈도 (Observed frequency)
• E: 기대 빈도 (Expected frequency)
• χ²: 카이제곱 검정 통계량

수식의 의미

이 수식은 실제 관측된 값(O) 과 우리가 기대하는 값(E) 사이의 차이를 측정한다.

• 차이가 클수록 -> (O - E)^2 값이 커짐

• 기대값(E)으로 나누는 이유 -> 비율로 표준화하기 위함

이렇게 계산된 χ² 값이 클수록, 관측 결과가 기대와 다르다
즉, 두 변수는 독립이 아닐 가능성이 높다

통계량 ↑ -> 귀무가설에 의문

• χ² 값이 작다 → 관측값이 기대값과 비슷함 → 귀무가설 지지
• χ² 값이 크다 → 관측값이 기대값과 다름 → 귀무가설 기각 가능성↑

얼마나 커야 의미 있을까?
-> 자유도와 p-value에 따라 판단

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📈 카이제곱 통계량과 카이제곱 분포

앞서 살펴본 카이제곱 통계량 χ²는 관측값과 기대값 사이의 차이를 나타내는 수치이다.
그런데 이 통계량이 크면 “차이가 있다”고 해석하는 기준은 그 값이 어떤 분포를 따르는지에 따라 결정된다.

카이제곱 분포란?

• 카이제곱 분포는 정규분포를 따르는 독립적인 확률 변수들을 제곱해서 더한 분포이다.
• 보통 자유도(df)dp 따라 분포 모양이 달라지며, 오른쪽으로 긴 꼬리를 가진 비대칭 분포 이다.
  

• Z_i : 표준 정규분포를 따르는 독립적인 확률 변수
• k : 자유도 (degrees of freedom)

검정에서는

우리가 계산한 χ² 통계량이 이론적으로 기대되는 카이제곱 분포에서 얼마나 극단적인 값인지 확인함으로써
p-value를 계산하고 귀무가설 기각 여부를 결정한다.

즉, χ²값이 카이제곱 분포의 극단적인 위치(꼬리) 에 있다면 이런 결과가 우연히 나올 확률(p-value)이 매우 낮아 귀무가설을 기각한다.

정리

• 우리가 계산한 χ² 통계량은 이론적인 카이제곱 분포 위에 놓인다.
• 그 위치(p-value)에 따라, 귀무가설을 기각할지 판단합니다.
• 결국 단순히 값이 크다/작다보다, 그 값이 얼마나 드문 일인가를 따지는 것이 카이제곱 검정의 핵심이다.

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기대도수 계산법

카이제곱 검정을 수행하려면, 먼저 기대도수(기대값) 을 계산해야한다.
기대도수란 말 그대로,

두 변수가 서로 전혀 관련이 없다고 가정했을 때,
각각의 경우(조합)에 몇 명(or 몇 개)이 나올 것으로 예상되는가? 를 의미한다.

예를 들어

어떤 설문조사에 200명이 참가했다고 하자.
참여자 중에 남성과 여성은 각각 100명이고
구매한 사람과 구매하지 않은 사람도 각각 100명씩 있다고 가정해보자

우리는 여기서 '성별과 구매 여부가 아무런 관련이 없다'라는 전제를 세우고 생각해야한다.
그렇다면 남성과 여성 모두 구매할 확률이 같아야 한다.

그러니 전체 인원 중 남성이 100명이고 전체 구매 인원이 100명이니
전체 구매 인원이 100명이니까 남성 중 절반인 50명 정도가 구매했을 것이다 라고 기대할 수 있다.

마찬가지로

• 남성 중 50명은 구매 X
• 여성 중 50명 구매, 나머지 여성 구매 X

이 때의 50명이 바로 기대 도수이다.
즉, 우리가 실제로 관측한 숫자가 아닌 "성별과 구매여부가 독립이라고 가정했을 때 '이 정도는 나오겠지.." 라고 기대되는 숫자 이다.

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중요한 자유도(degrees of freedom)

자유도(degrees of freedom) 는 카이제곱 분포의 모양을 결정하는 요소이다.
검정 통계량의 크기를 해석하기 위해서는 몇 개의 자유도를 가진 분포를 쓸 지 알아야 한다.

공식은 다음과 같다.

자유도 = (행 개수 - 1) x (열 개수 - 1)

예시

성별	구매함	구매 안 함
남성
여성

• 행 개수: 2
• 열 개수: 2
• 자유도: (2 - 1) × (2 - 1) = 1

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p-value

카이제곱 통계량이 계산되면, 그 값이 카이제곱 분포의 어디쯤 위치하는지를 확인해야 한다.
여기서 등장하는 것이 바로 p-value 이다.

p-value란?

귀무가설이 맞다고 가정했을 떄,
극단적인 결과가 우연히 나올 확률

예를 들어, 성별과 구매 여부가 아무 관련이 없다(=귀무가설이 참) 이라고 가정했을 때
우리가 얻은 관측 결과가 너무 튀는 값이면 우연이라고 보기엔 좀 이상하다는 판단을 할 수 있다.
이 판단 기준이 바로 p-value이다.

해석법

p-value	해석
p < 0.05	우연으로 보기 어려움 → 귀무가설 기각 → 두 변수는 관련 있음
p ≥ 0.05	우연일 수도 있음 → 귀무가설 채택 → 두 변수는 독립(관련 없음)

보통 기준은 0.05이다.(달라질 수 있음)
즉 5%보다 더 작은 확률로 일어난 결과라면 그냥 우연이라고 보기엔 너무 드문 일이기에
귀무가설을 기각하고, 두 변수 사이에 의미 있는 차이 가 있다고 판단한다.

요약

• p-value는 결과가 우연인지 아닌지를 판단하는 확률값이다.
• 값이 작을수록 "이건 단순한 우연이 아니다" 라고 해석
• 그래서 p-value가 작으면 귀무가설을 기각하고 두 변수가 관련이 있다고 한다.

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총 요약

카이제곱 검정에 대한 핵심적인 개념을 알아보았다. 사실 어려워보이는데 조금 자세히 들여다보면 은근 단순하다. 다시 한 번 정리하자면,

• 언제 사용하는가?
  두 개의 범주형 변수 사이에 관련이 있는지를 알고 싶을 때
• 검정의 핵심 개념
  관측값 : 실제 데이터에서 확인된 값
기대값 : 두 변수가 독립일 때 예상되는 값
검정 통계량(χ²) : ((O - E)^2 / E)를 모두 더한 값
자유도(df) : (행의 개수 - 1) × (열의 개수 - 1)
p-value : 결과가 우연일 확률 (작을수록 의미 있는 차이)
• 해석 기준
  p < 0.05 → 귀무가설 기각 → 두 변수는 통계적으로 관련 있음
p ≥ 0.05 → 귀무가설 채택 → 두 변수는 통계적으로 독립
  카이제곱 검정은 범주형 변수끼리의 관계 분석에 아주 유용하게 쓰이므로 기억할 필요가 있다.