시간복잡도

Time Complexity (시간 복잡도)

효율적인 방법을 고민한다는 것은 시간 복잡도를 고민한다는 것과 같은 말이다.

종류

• Big-O(빅-오) ⇒ 상한 점근
• Big-Ω(빅-오메가) ⇒ 하한 점근
• Big-θ(빅-세타) ⇒ 그 둘의 평균

배울것

• Big-O가 많이 사용되므로 Big-O표기 법을 중점으로 배우자

Big-O 표기법

• Big-O 표기법은 ‘입력값의 변화에 따라 연산을 실행할 때, 연산 횟수에 비해 시간이 얼마만큼 걸리는가?’를 표기하는 방법이다.

Big-O 표기법 종류

• O(1)
• O(n)
• O(log n)
• O(n2)
• O(2n)

O(1)

• O(1)은 일정한 복잡도(constant complexity)라고 하며, 입력값이 증가하더라도 시간이 늘어나지 않는다.

O(1) 예시

function O_1_algorithm(arr, index) {
  return arr[index];
}
let arr = [1, 2, 3, 4, 5];
let index = 1;
let result = O_1_algorithm(arr, index);
console.log(result); // 2

• 이 알고리즘에선 입력값의 크기가 아무리 커져도 즉시 출력값을 얻어낼 수 있다.
• 예를 들어 arr의 길이가 100만이라도, 즉시 해당 index에 접근해 값을 반환할 수 있다.

O(log n)

• O(log n)은 로그 복잡도(logarithmic complexity)라고 부르며, Big-O표기법중 O(1) 다음으로 빠른 시간 복잡도를 가진다.

• 자료구조에서 배웠던 BST(Binary Search Tree)를 기억하는가?

• BST에선 원하는 값을 탐색할 때, 노드를 이동할 때마다 경우의 수가 절반으로 줄어든다.

• 이해하기 쉬운 게임으로 비유해 보자면 up & down을 예로 들 수 있다.
  1. 100 중 하나의 숫자를 플레이어1이 고른다. (30을 골랐다고 가정한다.)
  2. 50(가운데) 숫자를 제시하면 50보다 작으므로 down을 외친다.
  3. 0중의 하나의 숫자이므로 또다시 경우의 수를 절반으로 줄이기 위해 25를 제시한다.
  4. 25보다 크므로 up을 외친다.
  5. 경우의 수를 계속 절반으로 줄여나가며 정답을 찾는다.
  

• 매번 숫자를 제시할 때마다 경우의 수가 절반이 줄어들기 때문에 최악의 경우에도 7번이면 원하는 숫자를 찾아낼 수 있게 된다.

• 👌 BST의 값 탐색 또한 이와같은 로직으로, O(log n)의 시간 복잡도를 가진 알고리즘(탐색기법)이다.

O(n)

• 예를 들어 입력값이 1일 때 1초의 시간이 걸리고, 입력값을 100배로 증가시켰을 때 1초의 100배인 100초가 걸리는 알고리즘을 구현했다면, 그 알고리즘은 O(n)의 시간 복잡도를 가진다고 할 수 있다.

function O_n_algorithm(n) {
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    // do something for 1 second
  }
}
function another_O_n_algorithm(n) {
  for (let i = 0; i < 2n; i++) {
    // do something for 1 second
  }
}

• O_n_algorithm 함수에선 입력값(n)이 1 증가할 때마다 코드의 실행 시간이 1초씩 증가한다.
• 즉 입력값이 증가함에 따라 같은 비율로 걸리는 시간이 늘어나고 있다. 그렇다면 함수 another_O_n_algorithm 은 어떨까?
• 입력값이 1 증가할때마다 코드의 실행 시간이 2초씩 증가한다.
• 이것을 보고, “아! 그렇다면 이 알고리즘은 O(2n) 이라고 표현하겠구나!” 라고 생각할 수 있다.
• 그러나, 사실 이 알고리즘 또한 Big-O 표기법으로는 O(n)으로 표기한다.
• 입력값이 커지면 커질수록 계수(n 앞에 있는 수)의 의미(영향력)가 점점 퇴색되기 때문에, 같은 비율로 증가하고 있다면 2배가 아닌 5배, 10배로 증가하더라도 O(n)으로 표기한다.

O(n^2)

• O(n2)은 2차 복잡도(quadratic complexity)라고 부르며, 입력값이 증가함에 따라 시간이 n의 제곱수의 비율로 증가하는 것을 의미한다.
  ex) 입력값이 1일 경우 1초가 걸리던 알고리즘에 5라는 값을 주었더니 25초가 걸리게 된다면, 이 알고리즘의 시간 복잡도는 O(n2)라고 표현한다.
  

function O_quadratic_algorithm(n) {
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    for (let j = 0; j < n; j++) {
      // do something for 1 second
    }
  }
}
function another_O_quadratic_algorithm(n) {
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    for (let j = 0; j < n; j++) {
      for (let k = 0; k < n; k++) {
        // do something for 1 second
      }
    }
  }
}

• 2n, 5n 을 모두 O(n)이라고 표현하는 것처럼, n3과 n5 도 모두 O(n2)로 표기한다.
• n이 커지면 커질수록 지수가 주는 영향력이 점점 퇴색되기 때문에 이렇게 표기한다.

O(2n)

• O(2n)은 기하급수적 복잡도(exponential complexity)라고 부르며, Big-O 표기법 중 가장 느린 시간 복잡도를 가진다.
• 종이를 42번 접으면 그 두께가 지구에서 달까지의 거리보다 커진다는 이야기를 들어보신 적 있으신가?
• 고작 42번 만에 얇은 종이가 그만한 두께를 가질 수 있는 것은, 매번 접힐 때마다 두께가 2배 로 늘어나기 때문이다.
• 구현한 알고리즘의 시간 복잡도가 O(2n)이라면 다른 접근 방식을 고민해 보는 것이 좋다.

function fibonacci(n) {
  if (n <= 1) {
    return 1;
  }
  return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

• 재귀로 구현하는 피보나치 수열은 O(2n)의 시간 복잡도를 가진 대표적인 알고리즘이다.
• 브라우저 개발자 창에서 n을 40으로 두어도 수초가 걸리는 것을 확인할 수 있으며, n이 100 이상이면 평생 결과를 반환받지 못할 수도 있다.