벨만-포드 알고리즘(Bellman-Ford Algorithm)

최단 거리 알고리즘 중 하나로, 간선의 가중치가 음수일 때도 최단 거리를 구할 수 있습니다.

벨만-포드 vs 다익스트라

• 다익스트라
  • 매번 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
  • 음수 간선이 없을 때 최적의 해를 찾는다.
  • 시간복잡도는 O(ElogV) (우선순위 큐 사용 시)
• 벨만-포드
  • 매번 모든 간선을 전부 확인한다.
  • 음수 간선이 있어도 최적의 해를 찾을 수 있다.
  • 시간복잡도가 비교적 느리다. O(VE)

벨만-포드 알고리즘 수행 과정

1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
3. 다음의 과정을 (N(=정점의 수) - 1)번 반복한다.
   1. 모든 간선 E개를 하나씩 확인한다.
   2. 각 간선을 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
4. 만약 음수 간선 순환이 발생하는지 체크하고 싶다면 3번 과정을 한 번 더 수행한다.
   --> 최단 거리 테이블이 갱신된다면, 음수 간선 순환 존재

BOJ 11657번 '타임머신'

import sys

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력
v, e = map(int, input().split())
# 모든 간선에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
edges = []
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (v + 1)

# 모든 간선의 정보 입력
for _ in range(e):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미 (a -> b 의 비용이 c)
    edges.append((a, b, c))


def bellman_ford(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    # 전체 v - 1번의 라운드(round)를 반복
    for i in range(v):
        # 매 반복마다 '모든 간선'을 확인한다.
        for j in range(e):
            cur_node = edges[j][0]
            next_node = edges[j][1]
            edge_cost = edges[j][2]
            # 현재 간선을 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if distance[cur_node] != INF and distance[next_node] > distance[cur_node] + edge_cost:
                distance[next_node] = distance[cur_node] + edge_cost
                # v번째 라운드에서도 값이 갱신된다면 음수 순환이 존재
                if i == v - 1:
                    return True

    return False


# 벨만 포드 알고리즘 수행
negative_cycle = bellman_ford(1)

# 음수 순환이 존재하면 -1 출력
if negative_cycle:
    print("-1")
else:
    # 1번 노드를 제외한 다른 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
    for i in range(2, v + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, -1 출력
        if distance[i] == INF:
            print("-1")
        # 도달할 수 있으면 거리 출력
        else:
            print(distance[i])