✳️ 다이나믹 프로그래밍
메모리 공간을 약간 더 사용하면 연산 속도를 비약적으로 증가 시켜주는 대표적인 방법
큰 문제를 작게 나누고, 같은 문제라면 한 번씩만 풀어 문제를 효율적으로 해결하는 알고리즘 기법
대표적인 예로 피보나치 수열이 있다.
❎ 피보나치 수열
피보나치 수열은 이전 두항의 합을 현재의 항으로 설정하는 특징이 있는 수열이다.
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
수학자들은 점화식을 이용해 수열의 항이 이어지는 형태를 간결하게 표현한다.
-
n 번째 피보나치 수 = ( n - 1) 번째 피보나치수 + ( n - 2 ) 번째 피보나치 수
-
단, 1번째 피보나치수 = 1 , 2번째 피보나치수 = 1
프로그래밍에서는 이러한 수열을 배열과 리스트로 표현할 수 있다. 파이썬에서는 리스트 자료형으로 처리할 수 있다.
# 재귀 함수로 표현
def fibo(x):
if x == 1 or x == 2:
return 1
return fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
print(fibo(4))재귀함수로 소스코드 작성시 f(n) 함수에 n이 커지면 커질 수록 수행 시간이 기하 급수적으로 나타난다.
다이나믹 프로그래밍은 다음 조건을 만족할 때 사용한다.
- 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있다.
- 작은 문제에서 구한 정답은 그것을 포함하는 큰 문제에서도 동일하다.
# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션 하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100
# 피보나치 함수를 재귀함수로 구현 (탑다운 다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
# 종료 조건
if x == 1 or x == 2:
return 1
# 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
if d[x] != 0:
return d[x]
# 아직 계산한 적 없는 문제 일 경우 점화식에 따라 피보나치 결과 반환
d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
return d[x]
print(fibo(99))메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 한 종류로, 한 번 구한 결과를 메모리 공간에 메모해두고 같은 식을 다시 호출하면 메모한 결과를 그대로 가져오는 기법을 의미한다.
메모이제이션은 값을 저장하는 방법이므로 캐싱이라고도 한다.
위에 소스코드에서 호출되는 함수를 보면 f(6) f(5) f(4) f(3) f(2) f(1) f(2) f(3) f(4) 로, 큰 문제를 해결하기 위해 작은 문제를 호출한다고 하여 탑다운 방식(Top-Down) 이라 한다. 반대로 단순히 반복문을 이요하여 소스코드를 작성해 작은문제 부터 차근차근 답을 도출하는 방법은 보텀업 방식(Bottom-Up)이다.
# 한 번 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100
# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 2
n = 99
# 피보나치 함수 반복문으로 구현 (보텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n + 1):
d[i] = d[i - 1] + d[i - 2]
print(d[n])✅ 실전문제
[문제1] 1로 만들기
정수 X가 주어질때 정수 X에 사용할 수 있는 연산은 다음과 같이 4가지다. 정수 X( 1 ≤ X ≤ 30000)가 주어졌을 때, 아래 연산 4개를 적절히 사용하여 1을 만들려고 한다. 연산을 사용하는 횟수의 최솟값을 출력하시오.
- X가 5로 나누어 떨어지면, 5로 나눈다.
- X가 3으로 나누어 떨어지면, 3으로 나눈다.
- X가 2로 나누어 떨어지면, 2로 나눈다.
- X에서 1을 뺀다.
풀이
# 정수 X 입력받기
x = int(input())
# 앞서 계산한 결과 저장을 위해 DP테이블 초기화
d = [0] * 30001
# 다이나믹 프로그램 진행 (보텀업)
for i in range(2, x + 1):
# 현재의 수에서 1을 빼는 경우
d[i] = d[i - 1] + 1
# 현재의 수가 2로 나눠떨어지는 경우
if i % 2 == 0:
d[i] = min(d[i],d[i // 2] + 1)
# 현재의 수가 3으로 나눠떨어지는 경우
if i % 3 == 0:
d[i] = min(d[i], d[i // 3] + 1)
# 현재의 수가 5로 나눠떨어지는 겨우
if i % 5 == 0:
d[i] = min(d[i], d[i // 5] + 1)
print(d[x])식 끝에 +1 을 해주는 이유는 함수의 호출 횟수를 구해야 하기 때문이다.
[문제2] 개미 전사
개미전사는 부족한 식량을 충당하고자 메뚜기 마을의 식량창고를 몰래 공격하려고 한다. 메뚜기 마을에는 여러 개의 식량창고가 있는데 식량창고는 일직선으로 이어져 있다. 각 식량창고에는 정해진 수의 식량을 저장하고 있ㄷ으며 개미 전사는 식량창고를 선택적으로 약탈하여 식량을 빼앗을 예정이다. 이때 메뚜기 정찰병들은 일직선상에 존재하는 식량창고 중에서 서로 인접한 식량창고가 공격받으면 바로 알아챌 수 있다. 따라서 개미 전사가 정찰병에게 들키지 않고 식량창고를 약탈하기 위해서는 최소한 한 칸 이상 떨어진 식량창고를 약탈해야 한다. 예를 들어 식량창고 4개가 다음과 같이 존재한다고 가정하자.
{1, 3, 1, 5}
이때 개미 전사는 두 번째 식량창고와 네 번째 식량창고를 선택했을 때 최댓값인 총 8개의 식량을 빼앗을 수 있다. 개미 전사는 식량창고가 이렇게 일직선상일 때 최대한 많은 식량을 얻기를 원한다.
개미 전사를 위해 식량창고 N개에 대한 정보가 주어졌을 때 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력
- 첫째 줄에 식량창고의 개수 N이 주어진다. (3 ≤ N ≤ 100)
- 둘째 줄에 공백으로 구분되어 각 식량창고에 저장된 식량의 개수 K가 주어진다. (0 ≤ K ≤ 1,000)
출력
- 첫째 줄에 개미 전사가 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 출력하시오.
입력 예시
4
1 3 1 5특정한 i번째 식량창고를 털지 안 털지 여부를 결정할때 비교를 해야한다.
i - 1 번째 식량창고와 i -2 번째 식량창고 + 현재 i 위치의 식량창고의 합으로 두 가지 경우의 이익을 비교한다.
# 정수 N 입력받기
n = int(input())
# 리스트 입력 받기
ary = list(map(int,input().split()))
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100
# 다이나믹 프로그래밍 진행 (보텀업)
d[0] = ary[0]
d[1] = max(ary[0], ary[1])
for i in range(2,n):
d[i] = max(d[i - 1], d[i - 2] + ary[i])
# 계산된 결과 출력
print(d[n - 1])[문제3] 바닥 공사
가로의 길이가 N, 세로의 길이가 2인 직사각형 형태의 얇은 바닥이 있다. 태일이는 이 얇은 바닥을 1 X 2의 덮개, 2 X 1의 덮개, 2 X 2의 덮개를 이용해 채우고자 한다. 이 때 바닥을 채우는 모든 경우의 수를 구하는 프로그램을 작성하시오. 예를 들어, 2X3 크기의 바닥을 채우는 경우의 수는 5가지이다.
입력
첫째 줄에 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000)
출력
첫째 줄에 2 X N 크기의 바닥을 채우는 방법의 수를 796,796으로 나눈 나머지를 출력한다.
입력 예시
3# 정수 N 입력받기
n = int(input())
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100
# 다이나믹 프로그래밍 진행 (보텀업)
d[1] = 1
d[2] = 3
for i in range(3, n + 1):
d[i] = (d[i - 1] + 2 * d[i - 2]) % 796796
# 계산된 결과 출력
print(d[n])[문제4] 효율적인 화폐 구성
N가지 종류의 화폐가 있다. 이 화폐들의 개수를 최소한으로 이용해서 그 가치의 합이 M원이 되도록 하려고 한다. 이때 각 화폐는 몇 개라도 사용할 수 있으며, 사용한 화폐의 구성은 같지만 순서만 다른 것은 같은 경우로 구분한다. 예를 들어 2원, 3원 단위의 화폐가 있을 때는 15원을 만들기 위해 3원을 5개 사용하는 것이 가장 최소한의 화폐 개수이다.
입력
첫째 줄에 N,M이 주어진다(1<= N <= 100, 1<= M <= 10,000)
이후의 N개의 줄에는 각 화폐의 가치가 주어진다. 화폐의 가치는 10,000보다 작거나 같은 자연수이다.
출력
첫째 줄에 경우의 수 X를 출력한다.
불가능할 때는 -1을 출력한다
입력 예시
2 15
2
3# 정수 n, m 을 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# n개의 화폐 단위 정보를 입력받기
ary = []
for i in range(n):
ary.append(int(input()))
# 한 번 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [10001] * (m + 1)
# 다이나믹 프로그래밍 진행 (보텀업)
d[0] = 0
for i in range(n):
for j in range(ary[i], m + 1):
if d[j - ary[i]] != 10001:
d[j] = min(d[j], d[j - ary[i]] + 1)
# 계산된 결과 출력
if d[m] == 10001 :
print(-1)
else :
print(d[m])