measurable space $(X,\\mathcal{X})$ 에서 두 측도 $\\mu,\\nu$ 가 정의되었다고 하자. 이때 임의의 $\\mu$-null set이 $\\nu$-null set이라면, 즉$$\\mu(A)=0\\Rightarrow\\nu(A)=0$$이라

이번 글에서는 르벡적분에 대한 다중적분을 정의해보도록 할 것이다. 다중적분을 하기 위해서는 곱함수가 정의되는 product space와, product space에서 측도로 사용될 수 있는 product meausre이 필요할 것이다.두 위상공간 $X,Y$에 대한 ca

이전 글들에서 르벡 측도를 이용해 정의한 르벡적분과 앞으로 살펴볼 일반측도 $\\mu$를 이용해 정의하는 르벡적분은 크게 다르지 않다. 르벡측도를 이용한 르벡적분은 $\\mu=m$ 의 특수한 경우이지만 대부분의 중요한 정리들은 그대로 성립한다.이전에 살펴본 단순함수근사

Dynkin's $\\pi-\\lambda$ system이라고도 불리는 체계는 실변수함수론에서 다양한 정리들을 증명하거나 할 때 유용하게 사용된다. 또한, 확률론에서도 사건이나 random event의 독립성을 확인할 때 역시 이용된다. 우선 $\\pi$ system,

이전까지 다루었던 측도의 개념은 르벡 측도에 관한 것으로, 가측집합의 모임들이 시그마 대수인 것을 외측도의 제한으로 보였으며, 이를 통해 측도론을 구성해왔다. 이를 르벡 측도의 Caratheodory construction 이라고 부르는데, 여기서는 이러한 기술을 좀

위상공간 $(X,\\mathcal{T})$와 $(Y,\\mathcal{S})$ 를 연결하는 사상 $f:X\\to Y$ 가 점 $x_0$에서 연속이기 위한 조건은 다음과 같다. $f(x_0)$의 임의의 근방 $\\mathcal{O}$ 에 대해 $x_0$의 근방 $\\

위상공간 X의 부분집합 $A,B \\subset X$ 가 서로소라고 하자. 만일 $A,B$ 각각의 서로소인 근방이 존재한다면, 이를 근방에 의해 분리된다고 표현한다. 이 장에서는 네 가지의 주요 분리 성질을 바탕으로 위상공간을 분류하는 것을 다룬다. 위상공간 $X$

위상공간은 집합의 일종으로, 위상(토폴로지, topology)이 부여된 공간을 의미한다. 앞서 살펴본 거리공간 역시 위상공간의 일종인데, 거리공간에서의 거리의 개념이 위상을 정의하기 때문이다. 이 장에서 다루고자 하는 위상공간은, 거리공간보다 더 일반적인 개념이며 이를

바나흐 고정점 정리(혹은 축약 사상 정리)는 축약사상에 대해 고정점이 하나만 존재한다는 정리이다. 우선 이를 알기 위해 축약 사상과 고정점의 개념에 대해 다루어보자. Def 거리공간 X에서의 점 $x\\in X$ 와 사상 $T:X\\to X$ 에 대해 $T(x)=x

이번에서는 실해석학에서 다뤄지는 거리metric의 개념과, 이를 이용해 정의된 거리공간과 그 특성들에 대해 대략적으로 다루어보고자 한다. 해석개론에서 다루어지는 기본적인 열린/닫힌 집합의 개념과 열린/닫힌 집합에서의 수열과 같은 내용들은 분량상 생략하도록 하겠다.우선,

Def선형공간 $X$의 부분집합 $C$가 Convex set 이다: $\\forall f.g\\in C, \\quad \\forall \\lambda \\in 0,1$ 에 대해 $\\lambda f+(1-\\lambda)g \\in C$ 가 성립한다.또한, 다음

THM 14 가측집합 $E$와 $1<p<\\infty$ 에 대해, $L^p(E)$ 공간에서의 임의의 유계수열 ${f_n}$은 $f \\in L^p(E)$ 로 약한 수렴하는 부분수열을 가진다. 위 정리를 증명하기 위해서는 먼저 다음 헬리의 정리를 증명해야

L^p 공간에서의 함수열의 수렴을 정의하기 위해서는 노음선형공간에서의 함수열의 수렴이 먼저 정의되어야 한다. Def 노음선형공간 $X$의 함수열 $fn$이 $f$ 로 약한 수렴한다는 것 ($f_n \\to f$) 은 다음을 의미한다.$$\\lim_nT(f_n) = T(

쌍대성을 정의하기 이전에, 선형 범함수linear functional에 대해 알 필요가 있다. 우선 범함수란, 함수들의 함수로 어떠한 함수공간을 정의역으로 하고 실수 혹은 복소수 집합을 공역으로 하는 함수이다. 이때, 함수공간은 벡터공간이기 떄문에 벡터공간에서부터 실수

Def 노음선형공간 X에서 함수열의 수렴 $f_n \\to f$ 은 다음과 같이 정의한다.$$\\lim_n\\Vert f-f_n\\Vert = 0$$마찬가지로, 함수열 $f_n$이 코시수열임은 다음과 같이 정의한다.$\\forall\\epsilon>0,\\; \\exi

실해석학에서 다루는 공간들에는 거리공간, 위상공간 등 여러 종류가 있다. 그중에서도 엘피공간(작성의 편의를 위해 L^p를 가끔 엘피로 쓰게되었다😅)은 르벡적분과 관련해 매우 중요한 개념이고 머신러닝에서도 종종 주요한 개념으로 사용되기 때문에, 반드시 정확히 숙지할 필

Def$E$에서의 가측함수들의 집합족 $\\mathcal F$가 다음을 만족할 때 $E$에서 Tight 하다고 정의한다.$$\\forall \\epsilon>0,\\; \\exists E0 \\subseteq E \\text{ w/ } m(E_0) <\\inft

Def 함수 $f$에 대해 다음 두 nonnegative 함수를 정의하면$f^+ = \\max(f, 0)$$f^-= -\\min(f, 0)$ $$|f| = f^+ +f^- \\f = f^+-f^- $$임을 알 수 있다.위 두 함수는 nonnegative func

해석개론에서는 리만적분과 이를 확장한 리만-스틸체스 적분을 다루었다. 스틸체스 적분은 리만적분을 단조함수를 기반으로 확장했다고 볼 수 있지만, 앞으로 다룰 르벡적분의 경우는 측도론에 기반해 전개되기 때문에 별개의 이론으로 보는 것이 적합하다고 생각된다(하지만 확률론을

유한 측도를 갖는 가측집합 $E$와 $E$에서의 실함수열 {$fn$}에 대해 $f_n \\to f$ 일때 (a)\_,1\. $\\forall \\epsilon>0$ 에 대해 닫힌 집합 $F$가 존재하여 $F$에서 $f_n$이 $f$로 균등수렴하고 2\. $m(E-F)