선형대수 - 선형변환

• Domain (정의역) : 함수의 입력에 들어가는 모든 집합.

• Co-domain(공역) : target함수의 출력값 output의 집합.

• Image : 함수의 output.

• range(치역) : 수가 취하는 값 전체의 집합 공역에 대한 y의 부분집합.

• note : x 는 유니크하게 정의된다.

쉽게 말해 자판기가 있다.(모두 아는 자판기)

• 누르는 버튼 : 정의역
• 눌렀을 때 나오는 음료수 : 치역
• 자판기 안에 음료수 자체는 : 공역

• 왼쪽과 오른쪽식이 성립했을시 선형변환. 즉, 선형결합이 가능하면 선형변환이 가능합니다.
• 즉, 상수배를 해서 변환을 하던, 변환을 해서 상수배를 하던 그값이 같으면 선형변환이라고 할 수 있습니다.

• 행렬은 분배법칙이 가능하므로 왼쪽 과 오른쪽 식이 같아 선형변환이 가능합니다.

선형변환의 요약

• 변환은 곧 함수다.
• 어떤 값을 집어넣어서 2차원 이상 벡터가 나왔다 = 벡터변환함수
• 실수배를 해서 변환을 하던, 변환을 해서 실수배를 하던 그값이 같습니다.
  • 즉, 실수배가 변환의 영향을 주지않고 변환을 보존
• 선형변환이 가능하지 않을 때는 원소들끼리 곱해지거나 벡터에 지수배가 존재할때는 가능하지않다.
• 선형변환이 되지않는 함수에 넣게되면 벡터가 아닌 엉뚱한 것 이 나오게됨.

선형변환 정리

• 선형변환은 선형 결합을 보존하는 두 벡터 공간 사이의 함수이며, 벡터를 벡터로 변환해주는 것입니다.
• 간단하게 좌표평면 위에 점 두개가 있다고 가정했을때, 두점을 이동시키는게 선형변환.
• '선형'이라는 규칙을 지키며V 공간상의 벡터를 ,W 공간상의 벡터로 바꿔주는 역할을 합니다
• 선형결합이 되어야 선형변환이 가능하다.
• 벡터가 어떤 함수를 통해 또 다른벡터가나오는데 크기나 방향이 다른 벡터가 나오는것

ex) 함수 f가 임의의 두 벡터 x,y 와 실수 k에 대하여

1. f(k x) =k f(x)
2. f(x+y) = f(x) + f(y)만족시키면. 선형변환 이라고 합니다.

• 모든 선들은 변환이후에도 휘지않고 직선이어야 하며, 원점은 변환이후에도 여전히 원점이야 한다.
• 선형변환이라면 격자 라인들이 변형 이후에도 여전히 “평행”하고 “동일한간격”으로 있어야한다.