양자물리 2. 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식

오주환·2023년 8월 12일
양자물리
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0.슈뢰딩거 방정식의 해

슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

iℏ∂Ψ∂t=−ℏ22m∂2Ψ∂x2+VΨi\hbar \frac{\partial{\Psi}}{\partial{t}}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2{\Psi}}{\partial{x^2}}+V\Psi

해당 방정식을 변수분리의 방법으로 풀어 일반해를 찾아보겠다.
Ψ=ψ(x)φ(t)\Psi=\psi(x)\varphi(t)로 두면 위의 슈뢰딩거 방정식은

iℏ∂φφ∂t=−ℏ22mψ∂2ψ∂x2+Vi\hbar\frac{\partial\varphi}{\varphi\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m\psi}\frac{\partial^2{}\psi}{\partial{x^2}}+V

이 된다.
이 방정식의 좌변과 우변은 각각 t,x에 대한 함수이므로 둘 다 상수이고 좌변을E로 두자.

좌변을 먼저 풀어보면

iℏ∂φφ∂t=Ei\hbar\frac{\partial\varphi}{\varphi\partial t}=E
φ(t)=e−Eit/ℏ\varphi(t)=e^{-Eit/\hbar}

이 된다.

좌변을 E로 묶었으므로 시간항이 사라지고 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 정리된다.

ℏ22m∂2ψ∂x2+Vψ=Eψ\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2{}\psi}{\partial{x^2}}+V\psi=E\psi

참고로 여기서 알 수 있는 점은

E=iℏ∂∂tE=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}

이고

p=ℏi∂∂xp=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}

이다.
그리고 일반해는

Ψ(x,t)=Σn=1∞cnψn(x)e−Eit/ℏ\Psi(x,t)=\Sigma_{n=1}^\infty c_n\psi_n(x)e^{-Eit/\hbar}

로 정리할 수 있다.

1.infinite square well

시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 유도했으니 이제 간단한 몇가지 V분포에서의 시간의 무관한 파동함수 ψn(x)\psi_n(x)를 구해보겠다. 그리피스에서는 가장 유명한 5가지 퍼텐셜 상황에 대해 정리가 되어있다.

가장 먼저 풀 문제는 위 사진과 같은 포텐셜 분포일떄의 ψn(x)\psi_n(x)를 구하는 것이다. (풀이에서는 L을 a로 바꾸어 표기했다 사진은 퍼왔습니다..출처: 위키)

우선 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 (0<x<a)구간에 대해 쓰면
ℏ22m∂2ψ∂x2=Eψ\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2{}\psi}{\partial{x^2}}=E\psi 이므로

ψ=Asinkx+Bcoskx\psi=Asinkx+Bcoskx

로 둘 수 있다.
단 k=2mEℏ2k=\sqrt\frac{2mE}{\hbar^2}
한편 boundary condition에 의해 x=0,a에서 ψ\psi가 0이 되어야 하므로
B=0,ka=nπB=0, ka=n\pi
따라서

En=k2ℏ22m=ℏ2π2n22ma2E_n=\frac{k^2\hbar^2}{2m}=\frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2ma^2}

이고

ψn=Asin(nπax)=2asin(nπax)\psi_n=Asin(\frac{n\pi}{a}x)=\sqrt\frac{2}{a}sin(\frac{n\pi}{a}x)

이 된다.

1.1 Ψ(x,0)\Psi(x,0)으로부터 Ψ(x,t)\Psi(x,t)구하기

위에서 infinite square well 에서의 ψn\psi_n을 구했다.
이떄 ∫ψm∗ψndx=δmn\int\psi_m^*\psi_n dx=\delta_{mn}이므로(Hermition operator 의 eigenfunction의 orthogonality)
Ψ(x,0)=ΣCnψn(x)\Psi(x,0)=\Sigma C_n\psi_n(x)에서 양변에 ψm\psi_m을 곱해보면

cn=∫Ψ(x,0)ψn(x)dxc_n=\int\Psi(x,0)\psi_n(x)dx
=2a∫0asin(nπax)ψ(x,0)dx=\sqrt\frac{2}{a}\int_0^asin(\frac{n\pi}{a}x)\psi(x,0)dx

따라서 이렇게 구한 cnc_n를
파동함수의 일반해

Ψ(x,t)=Σcnψn(x)e−Eit/ℏ\Psi(x,t)=\Sigma c_n\psi_n(x)e^{-Eit/\hbar}

에 넣어주면 구할 수 있다.

2.finte square well

3.harmonic oscillator


다음음은 포텐셜이 V(x)=ax^2꼴인 형태이다.
이는 양자물리에서 매우 중요한데 세상의 다양한 퍼텐셜 분포도 근사적으로 harmonic oscillator로 볼 수 있기 때문이다.(ex. 수소원자)

이제 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 써 보면 다음과 같다.

ℏ22m∂2ψ∂x2+12mw2x2ψ=Eψ\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{1}{2}mw^2x^2\psi=E\psi

이를 다시 정리하여 보면

12m[p^2+(mwx)2]ψ=Eψ\frac{1}{2m}[\hat p^2+(mwx)^2]\psi=E\psi

이므로 Hamiltonian 연산자는

H=12m[p^2+(mwx)2]H=\frac{1}{2m}[\hat p^2+(mwx)^2]

이다.
여기서 ladder operator라고 하여 다음과 같은 연산자를 도입하여보자

a^±=(±ip^+mwx)/2mwℏ\hat a_\pm=(\pm i\hat p + mwx)/\sqrt{2mw\hbar}

위와같이 둔 이유는 직관적으로 알 수 있는데 위의 H연산자가 인수분해 될 수도 있는 꼴이기 때문이다.(어느정도 인위적이긴 하다)
계산을 더 해보면

a^−a^+=H^ℏw−i2ℏ[x,p^]=H^ℏw+12\hat a_- \hat a_+=\frac{\hat H}{\hbar w}-\frac{i}{2\hbar}[x,\hat p] =\frac{\hat H}{\hbar w}+\frac{1}{2}

따라서

H^=ℏw(a^−a^++12)\hat H=\hbar w(\hat a_- \hat a_+ +\frac{1}{2})
H^=ℏw(a^+a^−−12)\hat H=\hbar w(\hat a_+ \hat a_- -\frac{1}{2})

3.1 Ladder operator a^±\hat a_\pm의 성질

a^±\hat a_\pm는 각각 Hamiltonian의 eigenvalue를 ±ℏw\pm\hbar w씩 변화시킨다.
즉

H(a+^ψ)=(E+ℏw)(a+^ψ)H(\hat{a_+}\psi)=(E+\hbar w)(\hat{a_+}\psi)
H(a−^ψ)=(E−ℏw)(a+^ψ)H(\hat{a_-}\psi)=(E-\hbar w)(\hat{a_+}\psi)

단 lowest energy의 ψ0\psi_0에 대해서는
a^−ψ0=0\hat{a}_-\psi_0=0이 된다. 이제 이 방정식을 풀어서

ψ0\psi_0를 구해보면

ψ0(x)=(mwπℏ)14emw2ℏx2\psi_0(x)=(\frac{mw}{\pi \hbar})^{\frac{1}{4}}e^{\frac{mw}{2\hbar}x^2}

이제 여기서 구한 ψ0\psi_0에 사다리 연산자를n번 시행하여 ψn\psi_n을 구할 수 있다.

a^+=n+1ψn+1,\hat a _+=\sqrt {n+1}\psi_{n+1},
a^−=nψn−1\hat a _-=\sqrt {n}\psi_{n-1}

따라서

ψn=1n!(a^+)nψ0\psi_n=\frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat a _+)^n \psi_0

4.free particle

5.Dirac-Delta potential





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