플로이드 워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘이란?

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모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우에 사용하는 알고리즘이다.

• 시간 복잡도: O(n3)
• 2차원 리스트에 '최단 거리' 정보를 저장 (다익스트라는 1차원 리스트 활용)
• 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 (다익스트라는 그리디 알고리즘)
• 노드의 개수가 N이라고 할 때, N번 만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트를 갱신한다.

점화식

• A -> B로 가는 최소비용과 A -> K -> B로 가는 비용을 비교하여 더 작은 값으로 갱신하겠다는 뜻
• 즉, 바로 이동하는 거리가 특정한 노드를 거쳐서 이동하는 거리보다 더 많은 비용을 가진다면 이를 더 짧은 것으로 갱신한다.
  
  

과정

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[step 0] 그래프의 노드와 간선에 따라 최단 거리 테이블을 갱신한다.

[step 1] 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

• 예를 들어, D24는 원래 무한의 값을 가졌는데, D21+D14=9와 비교해서 9로 갱신된다.
  

[step 2] 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

• 예를 들어, D13은 원래 무한의 값을 가졌는데, D12+D23=11과 비교해서 11로 갱신된다.
  

[step ~] 3번, 4번, ... 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

• 기록되어 있는 내용이 모든 노드에서 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 표현한다.
• 예를 들어, D13은 8이라는 값을 가지는데 이는 1번 노드에서 3번 노드로 가는 최단 거리가 8이라는 의미이다.

코드 - Java

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public class Main {

    public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
    // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M)
    // 노드의 개수는 최대 500개라고 가정
    public static int n, m;
    // 2차원 배열(그래프 표현)를 만들기
    public static int[][] graph = new int[501][501];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();

        // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
        for (int i = 0; i < 501; i++) {
            Arrays.fill(graph[i], INF);
        }

        // 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
        for (int a = 1; a <= n; a++) {
            for (int b = 1; b <= n; b++) {
                if (a == b) graph[a][b] = 0;
            }
        }

        // 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            // A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int c = sc.nextInt();
            graph[a][b] = c;
        }

        // 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
            for (int a = 1; a <= n; a++) {
                for (int b = 1; b <= n; b++) {
                    graph[a][b] = Math.min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b]);
                }
            }
        }

        // 수행된 결과를 출력
        for (int a = 1; a <= n; a++) {
            for (int b = 1; b <= n; b++) {
                // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
                if (graph[a][b] == INF) {
                    System.out.print("INFINITY ");
                }
                // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
                else {
                    System.out.print(graph[a][b] + " ");
                }
            }
            System.out.println();
        }
    }
}