기준에 따라 데이터를 정렬

이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬을 공부하면서 정리한 내용입니다.

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정렬 알고리즘 개요

• 정렬이란 데이터를 특정한 기준에 따라서 순서대로 나열하는 것
• 정렬 알고리즘으로 데이터를 정렬하면 이진 탐색이 가능해짐
• 정렬 알고리즘 중 많이 사용되는 것은 선택 정렬, 삽입 정렬, 퀵 정렬, 계수 정렬
• 일반적으로 문제에서 요구하는 조건에 따라서 적절한 정렬 알고리즘이 공식처럼 사용됨
• 내림차순 정렬은 수행하는 알고리즘에서 크기 비교를 반대로 하면 됨
• 파이썬에서 제공하는 특정한 리스트의 원소를 뒤집는 메서드를 사용해도 됨
• 리스트를 뒤집는 연산은 $O(N)$의 복잡도로 수행됨

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선택 정렬

• 선택 정렬 알고리즘은 매번 '가장 작은 것을 선택'
• 가장 작은 데이터를 선택해 맨 앞에 있는 데이터와 바꾸고, 그다음 작은 데이터를 선택해 앞에서 두 번째 데이터와 바꾸는 과정을 반복
• 가장 작은 것을 선택해서 앞으로 보내는 과정을 반복해서 수행하면 전체 데이터의 정렬이 이루어짐
• 가장 작은 데이터를 앞으로 보내는 과정을 $N - 1$번 반복하면 정렬이 완료됨

array = [7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8]

for i in range(len(array)):
    min_index = i # 가장 작은 원소의 인덱스
    for j in range(i + 1, len(array)):
        if array[min_index] > array[j]:
            min_index = j
    array[i], array[min_index] = array[min_index], array[i] # 스와프

print(array)

선택 정렬의 시간 복잡도

• 선택 정렬은 $N - 1$번 만큼 가장 작은 수를 찾아 맨 앞으로 보내야 함
• 매번 가장 작은 수를 찾기 위해서 비교 연산이 필요
• 빅오 표기법으로 나타내면 $O(N^2)$

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삽입 정렬

• 삽입 정렬은 선택 정렬에 비해 구현 난이도가 높지만 선택 정렬보다 실행 시간 측면에서는 더 효율적
• 삽입 정렬은 특정한 데이터를 적절한 위치에 삽입하며, 특정한 데이터가 적절한 위치에 들어가기 전에 그 앞까지의 데이터는 이미 정렬되어 있다고 가정
• 정렬되어 있는 데이터 리스트에서 적절한 위치를 찾은 뒤에, 그 위치에 삽입된다는 점이 특징
• 삽입 정렬에서 첫 번째 데이터는 이미 정렬되어 있다고 판단하기 때문에 두 번째 데이터부터 정렬을 시작
• 적절한 위치에 삽입하는 과정을 $N - 1$번 반복
• 정렬이 이루어진 원소는 항상 오름차순을 유지하고 있다는 점 때문에 삽입 정렬에서는 특정한 데이터가 삽입될 위치를 선정할 때 삽입될 데이터보다 작은 데이터를 만나면 그 위치에서 멈추면 됨
• 즉, 특정한 데이터의 왼쪽에 있는 데이터들은 이미 정렬이 된 상태이므로 자기보다 작은 데이터를 만났다면 더 이상 데이터를 살펴볼 필요 없이 그 자리에 삽입

array = [7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8]

for i in range(1, len(array)):
    for j in range(i, 0, -1): # 인덱스 i부터 1까지 감소하며 반복하는 문법
        if array[j] < array[j - 1]: # 한 칸씩 왼쪽으로 이동
            array[j], array[j - 1] = array[j - 1], array[j]
        else:
            # 자기보다 작은 데이터를 만나면 그 위치에서 멈춤
            break

print(array)

삽입 정렬의 시간 복잡도

• 삽입 정렬의 시간 복잡도는 $O(N^2)$
• 삽입 정렬은 리스트의 데이터가 거의 정렬되어 있는 상태라면 매우 빠르게 동작
• 최선의 경우 $O(N)$의 시간 복잡도를 가짐
• 퀵 정렬과 비교했을 때 보통 삽입 정렬이 비효율적이지만 정렬이 거의 되어 있는 상황에서는 퀵정렬보다 더 빠름
• 거의 정렬되어 있는 상태로 입력이 주어지는 문제라면 삽입 정렬을 이용하는 것이 좋음

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퀵 정렬

• 퀵 정렬은 기준을 설정한 다음 큰 수와 작은 수를 교환한 후 리스트를 반으로 나누는 방식으로 동작
• 큰 숫자와 작은 숫자를 교환할 때, 교환하기 위한 기준을 피벗이라고 하며 퀵 정렬에서는 피벗이 사용됨
• 퀵 정렬을 수행하기 전에는 피벗을 어떻게 설정할 것인지 미리 명시해야 함
• 피벗을 설정하고 리스트를 분할하는 방법에 따라서 여러 가지 방식으로 퀵 정렬을 구분하는데, 가장 대표적인 분할 방식은 호어 분할
• 호어 분할 방식에서는 리스트에서 첫 번째 데이터를 피벗으로 정함
• 피벗을 설정한 뒤에는 왼쪽에서부터 피벗보다 큰 데이터를 찾고, 오른쪽에서부터 피벗보다 작은 데이터를 찾음
• 그다음 큰 데이터와 작은 데이터의 위치를 서로 교환
• 이러한 과정을 반복하면 피벗에 대하여 정렬이 수행됨
• 퀵 정렬은 세 개의 파트로 구분해서 볼 수 있음

I 파트

• 리스트의 첫 번째 데이터를 피벗으로 설정
• 왼쪽부터는 피벗보다 큰 데이터를 선택하고 오른쪽부터는 피벗보다 작은 데이터를 선택하며 두 데이터의 위치를 서로 변경하는 과정 반복
• 만약 왼쪽에서부터 찾은 값과 오른쪽에서부터 찾은 값의 위치가 서로 엇갈린 경우에는 작은 데이터와 피벗의 위치를 서로 변경
• 피벗이 이동한 상태에서 왼쪽 리스트와 오른쪽 리스트를 보면 왼쪽 리스트에 있는 데이터는 모두 피벗보다 작고, 오른쪽에 있는 데이터는 모두 피벗보다 큼
• 피벗의 왼쪽에는 피벗보다 작은 데이터가 위치하고, 피벗의 오른쪽에는 피벗보다 큰 데이터가 위치하도록 하는 작업을 분할 또는 파티션이라고 함
• 이러한 상태에서 왼쪽 리스트와 오른쪽 리스트에서 각각 피벗을 설정하여 개별적으로 정렬을 수행하면 전체 리스트에 대하여 정렬이 이루어짐

II 파트

• 왼쪽 리스트에서 I 파트와 같이 정렬을 수행

III 파트

• 오른쪽 리스트에서 I 파트와 같이 정렬을 수행

퀵 정렬의 구현

• 특정한 리스트에서 피벗을 설정하여 정렬을 수행한 후에, 피벗을 기준으로 왼쪽 리스트와 오른쪽 리스트에서 각각 다시 정렬을 수행
• 퀵 정렬은 재귀 함수 형태로 작성했을 때 구현이 간결해짐
• 재귀 함수로 구현한다면 종료 조건도 있어야 함
• 퀵 정렬이 끝나는 조건은 현재 리스트의 데이터 개수가 1개인 경우
• 리스트의 원소가 1개면 이미 정렬이 되어 있다고 간주할 수 있으며 분할이 불가

array = [5, 7, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8]

def quick_sort(array, start, end):
    if start >= end: # 원소가 1개인 경우 종료
        return
    pivot = start # 피벗은 첫 번째 원소
    left = start + 1
    right = end
    while left <= right:
        # 피벗보다 큰 데이터를 찾을 때까지 반복
        while left <= end and array[left] <= array[pivot]:
            left += 1
        # 피벗보다 작은 데이터를 찾을 때까지 반복
        while right > start and array[right] >= array[pivot]:
            right -= 1
        if left > right: # 엇갈렸다면 작은 데이터와 피벗을 교체
            array[right], array[pivot] = array[pivot], array[right]
        else: # 엇갈리지 않았다면 작은 데이터와 큰 데이터를 교체
            array[left], array[right] = array[right], array[left]
    # 분할 이후 왼쪽 부분과 오른쪽 부분에서 각각 정렬 수행
    quick_sort(array, start, right - 1)
    quick_sort(array, right + 1, end)
    
quick_sort(array, 0, len(array) - 1)
print(array)

• 파이썬의 장점을 살려 짧게 작성할 수도 있음
• 이때 피벗과 데이터를 비교하는 비교 연산 횟수가 증가하여 시간 면에서는 조금 비효율적이지만 더 직관적이고 기억하기 쉬움

array = [5, 7, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8]

def quick_sort(array):
    # 리스트가 하나 이하의 원소만을 담고 있다면 종료
    if len(array) <= 1:
        return array
    
    pivot = array[0] # 피벗은 첫 번째 원소
    tail = array[1:] # 피벗을 제외한 리스트

    left_side = [x for x in tail if x <= pivot] # 분할된 왼쪽 부분
    right_side = [x for x in tail if x > pivot] # 분할된 오른쪽 부분

    # 분할 이후 왼쪽 부분과 오른쪽 부분에서 각각 정렬을 수행하고, 전체 리스트를 반환
    return quick_sort(left_side) + [pivot] + quick_sort(right_side)

print(quick_sort(array))

퀵 정렬의 시간 복잡도

• 퀵 정렬의 평균 시간 복잡도는 $O(NlogN)$
• 최악의 경우에는 시간 복잡도가 $O(N^2)$
• 리스트의 가장 왼쪽 데이터를 피벗으로 삼을 때, 이미 데이터가 정열되어 있는 경우에는 매우 느리게 동작
• 삽입 정렬은 이미 데이터가 정렬되어 있는 경우에 매우 빠르게 동작하지만, 퀵 정렬은 그 반대

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계수 정렬

• 계수 정렬 알고리즘은 특정한 조건이 부합할 때만 사용할 수 있지만 매우 빠른 정렬 알고리즘
• 모든 데이터가 양의 정수인 상황을 가정했을 때, 데이터의 개수가 N, 데이터 중 최댓값이 K라면 계수 정렬은 최악의 경우에도 수행 시간 $O(N + K)$를 보장

계수 정렬의 조건

• 계수 정렬은 데이터의 크기 범위가 제한되어 정수 형태로 표현할 수 있을 때만 사용할 수 있음
• 데이터의 값이 무한한 범위를 가질 수 있는 실수형 데이터가 주어지는 경우 계수 정렬은 사용하기 어려움
• 그리고 일반적으로 가장 큰 데이터와 가장 작은 데이터의 차이가 1,000,000을 넘지 않을 때 효과적으로 사용 가능
• 가장 큰 데이터와 가장 작은 데이터의 차이가 너무 크면 계수 정렬은 사용할 수 없음
• 계수 정렬이 이러한 조건을 가지는 이유는, 계수 정렬을 이용할 때 모든 범위를 담을 수 있는 크기의 리스트를 선언해야 하기 때문

계수 정렬의 특징

• 계수 정렬은 선택 정렬, 삽입 정렬, 퀵 정렬처럼 직접 데이터의 값을 비교한 뒤에 위치를 변경하며 정렬하는 방식이 아님
• 계수 정렬은 일반적으로 별도의 리스트를 선언하고 그 안에 정렬에 대한 정보를 담는 특징이 있음

계수 정렬의 과정

• 예) 초기 단계: 7 5 9 0 3 1 6 2 9 1 4 8 0 5 2

1. 가장 큰 데이터와 가장 작은 데이터의 범위가 모두 담길 수 있도록 하나의 리스트를 생성
   • 예시에서 가장 큰 데이터가 9이고 가장 작은 데이터가 0이므로 리스트의 인덱스가 모든 범위를 포함할 수 있도록 크기가 10인 리스트 선언
2. 리스트의 모든 데이터가 0이 되도록 초기화
3. 데이터를 하나씩 확인하며 데이터의 값과 동일한 인덱스의 데이터를 1씩 증가시키면 계수 정렬이 완료됨

• 결과적으로 맨 처음에 생성한 리스트에는 각 데이터가 몇 번 등장했는지 그 횟수가 기록됨
• 정렬된 결과를 직접 눈으로 확인하고 싶다면, 리스트의 첫 번째 데이터부터 하나씩 그 값만큼 인덱스를 출력
  • 예를 들어, 0 인덱스의 값이 2면 0을 2번 출력
• 예시로 주어진 데이터를 정렬하면 0 0 1 1 2 2 3 4 5 5 6 7 8 9 9가 됨

# 모든 원소의 값이 0보다 크거나 같다고 가정
array = [7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 9, 1, 4, 8, 0, 5, 2]
# 모든 범위를 포함하는 리스트 선언(모든 값은 0으로 초기화)
count = [0] * (max(array) + 1)

for i in range(len(array)):
    count[array[i]] += 1 # 각 데이터에 해당하는 인덱스의 값 증가
# 또는
# for i in array:
#     count[i] += 1 # 각 데이터에 해당하는 인덱스의 값 증가

for i in range(len(count)): # 리스트에 기록된 정렬 정보 확인
    for j in range(count[i]):
        print(i, end=' ') # 띄어쓰기를 구분으로 등장한 횟수만큼 인덱스 출력

계수 정렬의 시간 복잡도

• 모든 데이터가 양의 정수인 상황에서 데이터의 개수를 N, 데이터 중 최댓값을 K라고 할 때, 계수 정렬의 시간 복잡도는 $O(N + K)$
• 계수 정렬은 앞에서부터 데이터를 하나씩 확인하면서 리스트에서 적절한 인덱스 값을 1씩 증가시킬 뿐만 아니라, 추후에 리스트의 각 인덱스에 해당하는 값을 확인할 때 데이터 중 최댓값의 크기만큼 반복을 수행하기 때문
• 따라서 데이터의 범위만 한정되어 있다면 효과적으로 사용할 수 있으며 항상 빠르게 동작

계수 정렬의 공간 복잡도

• 계수 정렬 알고리즘의 공간 복잡도는 $O(N + K)$
• 계수 정렬은 때에 따라서 심각한 비효율성을 초래할 수 있음
• 예를 들어, 데이터가 0과 999,999, 단 두 개만 존재한다고 가정
• 이럴 때에도 리스트의 크기가 100만 개가 되도록 선언해야 함
• 따라서 항상 사용할 수 있는 정렬 알고리즘은 아니며, 동일한 값을 가지는 데이터가 여러 개 등장할 때 적합
• 반면 퀵 정렬은 일반적인 경우에서 평균적으로 빠르게 동작하기 때문에 데이터의 특성을 파악하기 어렵다면 퀵 정렬을 이용하는 것이 유리

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파이썬의 정렬 라이브러리

• 알고리즘 문제를 풀 때 정렬 알고리즘을 직접 작성하게 되는 경우도 있지만 미리 만들어진 라이브러리를 이용하는 것이 효과적인 경우가 더 많음
• 파이썬은 기본 정렬 라이브러리인 sorted() 함수를 제공
• sorted()는 퀵 정렬과 동작 방식이 비슷한 병합 정렬을 기반으로 만들어졌는데, 병합 정렬은 일반적으로 퀵 정렬보다 느리지만 최악의 경우에도 시간 복잡도 $O(NlogN)$을 보장한다는 특징이 있음
• sorted() 함수는 리스트, 딕셔너리 자료형 등을 입력받아서 정렬된 결과를 출력
• 집합 자료형이나 딕셔너리 자료형을 입력받아도 반환되는 결과는 리스트 자료형

array = [7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8]

result = sorted(array)
print(result)

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

• 리스트 객체의 내장 함수인 sort()를 이용하면, 별도의 정렬된 리스트가 반환되지 않고 내부 원소가 바로 정렬됨

array = [7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8]

array.sort()
print(array)

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

• sorted()나 sort()를 이용할 때에는 key 매개변수를 입력으로 받을 수 있음
• key 값으로는 하나의 함수가 들어가야 하며 이는 정렬의 기준이 됨
• 리스트의 데이터가 튜플로 구성되어 있을 때, 각 데이터의 두 번째 원소를 기준으로 설정하는 예제는 다음과 같음

array = [('바나나', 2), ('사과', 5), ('당근', 3)]

def setting(data):
    return data[1]

result = sorted(array, key=setting)
# 또는
# result = sorted(array, key=lambda x: x[1])

print(result)

[('바나나', 2), ('당근', 3), ('사과', 5)]

정렬 라이브러리의 시간 복잡도

• 정렬 라이브러리는 항상 최악의 경우에도 시간 복잡도 $O(NlogN)$을 보장
• 정렬 라이브러리는 이미 잘 작성된 함수이므로 직접 퀵 정렬을 구현할 때보다 더욱 효과적
• 문제에서 별도의 요구가 없다면 단순히 정렬해야 하는 상황에서는 기본 정렬 라이브러리를 사용하고, 데이터의 범위가 한정되어 있으며 더 빠르게 동작해야 할 때는 계수 정렬을 사용

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정렬 알고리즘 문제 유형

• 코딩 테스트에서 정렬 알고리즘이 사용되는 경우를 일반적으로 3가지 문제 유형으로 나타낼 수 있음

1. 정렬 라이브러리로 풀 수 있는 문제: 단순히 정렬 기법을 알고 있는지 물어보는 문제로 기본 정렬 라이브러리의 사용 방법을 숙지하고 있으면 어렵지 않게 풀 수 있음
2. 정렬 알고리즘의 원리에 대해서 물어보는 문제: 선택 정렬, 삽입 정렬, 퀵 정렬 등의 원리를 알고 있어야 문제를 풀 수 있음
3. 더 빠른 정렬이 필요한 문제: 퀵 정렬 기반의 정렬 기법으로는 풀 수 없으며 계수 정렬 등 다른 정렬 알고리즘을 이용하거나 문제에서 기존에 알려진 알고리즘의 구조적인 개선을 거쳐야 풀 수 있음