Logic

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What is logic

• logic is the study of correct reasoning, inference and argumentations.
• a framework for evaluating the validity and soundness of an argument.
• is the study of the structure of correct argumentations. It cares about the relations between sentences as a whole, not the truth value of a specific sentence

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What is reasoning?

A fundamental cognitive process that intelligent beings use to make sense of information, draw conclusions, solve problems, and make decisions.
It involves the use of logic, past experiences, knowledge, and information.

• information processing from sensory perceptions, learned facts or other sources
• making causal, logical, temporal or spatial connection among information pieces
• logical inference to make valid inferences
• pattern recognition from data or experiences
• deductive inference
• inductive inference
• abductive inference
• critical thinking to evaluate the quality of information, assess arguments' validity and alternative explanations

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What is inference?

• inference의 어원은 "carry forward" 앞으로 나아감
• 알고 있는 것들로부터 결론을 이끌어 내는 방향성을 가진 사고를 뜻함.

연역추론

• 진리보존적
• implication을 통해 이미 알고 있는 것으로부터 결론의 참 거짓 여부를 확인
• 진술 Q의 진위여부를 알고 싶음. 그렇다면 이미 알고 있는 P로 부터 출발해서 Q의 진위여부를 알아낼 수 있다.

논리학은 논증에 대한 학문이다. 우리는 알고 있는 것들(지식)으로부터 결론을 이끌어 내기 위해 추론을 하고, 추론의 도구로 언어를 사용하게 되는데 해당 추론의 언어적 표현이 논증이 된다.

즉, 논증은 전제와 결론으로 구성된 문장들의 집합으로 볼 수 있고, 이 문장집합 전체를 하나의 대상으로 파악할 수 있다. 이렇게 하나의 대상으로 파악 될 수 있는 문장집합(논증)을 연구하는 것이 논리학임.

예를 들어, 고전논리에서 논증의 vailidity나 soundness는 논증을 구성하는 개별 명제의 성질이 아니라, 개별명제들이 모여 있는 하나의 논증을 대상으로 하여 그 논증이 가지고 있는 성질이 됨.

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What is argument?

• a set of statements
• consist of premises and conclusion
• some statements(premises) are presented as evidence of another statement(conclusion)
• effective arguements are structured in the way that if premises are true then conclusion is also true

가정 assumption

• unstated premise
• taken for granted
• help bridge gap in the argument by providing missing info

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Formal Logic

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형식체계formal system

• 형식주의 : 논리학 또는 수학을 미리 잘 정의된 string manipulation rule들에 따라 공리로부터 문장을 기계적으로 도출 해내는 하나의 문장 생성 시스템으로 바라보는 것.
• 형식체계는 형식주의를 바탕으로 도출해낸 추상구조를 뜻한다.
• 잘 정의된 공리로부터 inference rule들을 통해 정리를 도출하기 위해 고안됨.

명제논리propositional Logic

Proposition

• the sharable objects
• of the propositional attitudes and the primary bearers of truth and falsity.

1. 명제는 여러 사람이 공유하는 것처럼 보인다.
   여러 사람이 어떤 명제에 대해 이야기 할 때, 해당 명제는 여러 사람이 동시에 접근하는 실체가 있는 것처럼 보임. 그리고 해당 명제를 통해 여러 사람이 공통된 참/거짓을 판별할 수 있는 것 같다.

2. 명제는 primary bearers of truth and falsity
   참일 수도 있고, 거짓일 수도 있다. concrete events or facts만을 지칭하였다면, 해당 이벤트나 사실들은 거짓이 될 수 없으므로 명제의 candidate이 될 수 없다.

Implication

• 문장 X가 문장 Y를 함의한다.
  • 문장 X가 의미하는 바를 문장 Y의 의미가 포함한다.
  • 문장 Y가 문장 X의 일반화된 표현이다.
• 문장 X가 문장 Y를 함의 하는 경우, X로부터 Y가 따라 나오는 건 당연해 보이지만 일반적으로는 그 관계를 자연스럽게 파악하기 힘들다.
• 따라서 문장 Y가 문장 X의 일반화된 표현인지 확인 해야함.
• 인과, 시간, 공간 등의 관계가 있음.
  • 비가 오면, 땅이 젖는다 (인과관계)
  • A가 후암카페에 있다면, A는 서울에 있다.
  • A가 2023.08.22 17시에 커피를 마셨다면, A는 2023년에 최소 한 잔의 커피를 마셨다.
• 키는 문장 X와 문장 Y 사이의 일반화 관계를 파악하는 것

실질조건문

• P -> Q = ~P or Q
• 고전논리에서 함의문의 정의
  • 꼭 ~P or Q로 정의할 필요는 없음. 고전논리의 정의임.
  • Q가 P의 일반적 표현이라는 것과 ~P or Q의 정의가 의미적으로 무슨 관계가 있을까? 없어 보인다.
  • f(P,Q) = ~ P or Q (truth functional)

조건Condition

• 어떤 것이 일어나거나, 참이 되기 위한 상태state
• 어떤 일을 이루게 하거나, 이루지 못하게 하기 위하여 갖추어야 할 상태나 요소

Conditional Statement

• 어떤 일이 일어날 때, 그 현상과 그 현상이 일어나기 위한 상태를 기술함
• 전건과 후건으로 이루어짐.
• P->Q
• P는 Q의 필수조건, Q는 P의 충분조건
• 명제 P와 명제 Q의 조건 관계를 표현

Predicate logic

• 명제논리의 super set
• 논증argument의 분석단위는 술어

Symbols

• encode and transmit information such as concepts, experiences and ideas.
• words and phrases represent objects, actions, qualities, ideas, states of affairs, conditions, events.

Symbols of predicate logic

논리를 언어적으로 다루기 위해 언어를 표현하기 위한 기호를 먼저 정의해야함. 아래의 기호들은 논리적 표현을 위해 사용하는 기호들임.

• 논리상항 : 모든 논리체계 표현 시 의미가 고정되어 있음.
  1. 논리적 연결사 : 두 명제를 연결. 진리함수.
  2. 양화사 : 식의 자유변수에 대해 적용되어 자유변수의 양적 상태를 결정함.
  3. 변항기호 : 공통된 특성에 대해 집합을 정의하고, 해당 집합의 임의의 개체들을 표현한 기호
  4. 괄호 : 우선순위를 정할 때 사용
• 논리 비상항 : 모든 논리체계 표현 시 의미가 해석을 통해 고정되어야 함.
  1. 개체상항기호
  2. 술어논리기호
  3. 함수기호

문장규칙

위의 심볼들을 조합해서 하나의 문장으로 만드는 논리 문장생성 규칙. 아래의 규칙을 따르지 않는 표현은 문장이 될 수 없다. 즉, 비문.
1. term :
개체로서 의미를 가질 수 있는 대상. 변항, 개체상항, 함수에 적용된 후의 결과값
2. atomic formula :
양화사, 논리적 연결사가 없는 항이 달려 있는 술어표현
3. formula :
원자식들에 논리적 연결사, 양화사가 적용된 표현
4. sentence :
양화사로 자유변수가 전부 바인딩된 formula. sentence 만 진리값이 결정가능하다.

해석(Interpretation)

문장은 항상 참(tautology), 항상 거짓(contradiction) 그리고 경우에 따라 참 이거나 거짓이 될 수 있음. 항진명제(tautology)나 모순(contradiction)은 논증의 구조로 결정되지만, 경우에 따라 참이거나 거짓인 명제의 경우에는 어떤 경우에 참이 되고, 어떤 경우에 거짓이 되는지 판별해야 한다.

문장은 의미가 결정 되어야 진리치를 판별할 수 있다. 논리상항은 의미가 고정되어 있지만, 논리비상항은 해석을 통해 의미를 고정시켜 줘야 진리치를 결정할 수 있음.

문장의 해석은 의미론을 보자

해석 I(U, C, F, P)

• 해석집합 U : 현재 논리체계에서 다루는 대상들의 전체집합
• 개체상항집합 C : 현재 명제 논리에서 표현하는 상항들의 의미들을 모아 놓은 집합
• 함수기호집합 F : IXIXIXIX.. -> I
• 술어기호집합 P : IXIXIXIX.. -> (TRUE , FALSE)

만족가능성(Satisfiability)

Assumption : Γ가 문장집합, α가 문장이라고 하자.
Γ가 만족가능하다면, 아래의 statement들이 참이 된다.

1. Γ 안의 문장들을 참이 되는 해석 I가 존재한다.
2. Γ⊨α: 문장집합 Γ가 α를 논리적으로 함축한다.
   • Γ는 전제, α는 결론이다.
   • Γ를 참으로 만드는 해석은 반드시 α도 참으로 만든다.
3. α가 논리적 참(logical truth)이다.
   • 문장 α가 임의의 해석 I에 대해 참이다.
   • ∀I:I⊨α
   • ∅⊨α

개념(Concept)

• 대상에 관한 여러 지식의 공통점을 뽑아 일반화한 지식
• cognitive agent의 인식 처리 대상.
• 언어의 symbol들(word, sentence)이 의미하는 것.
• 대상을 관측하여 얻어낸 감각 정보로부터 불필요한 것들을 제거하고 추상화/일반화한 지식

개념은 두가지 요소로 구성된다.
1. 내포 : 개념이 지닌 의미.
2. 외연 : 주어진 개념 P의 내포를 만족하는 개체(entity)들의 집합.

해석(Interpretation)

언어적 표현의 의미를 헤아리는 것.
언어적 표현에 지시체를 할당하는 것
프레게의 뜻과 지시체

• 뜻 : 해당 언어적 표현을 이해하는 주체가 파악하는 것. 의미를 구성하는 성분으로서 의미론 적 값(지시체)를 결정하는 것.
• 지시체 : 개념의 외연, 프레게의 의미론적 값(semantic value)에 대응하는 것 같다.

귀결(consequence)

논증의 의미론적 관점의 성질.
α가 문장, Γ이 문장집합이라고 가정하자. 문장 α가 문장집합 Γ의 귀결일 경우 아래의 진술은 동치가 된다.
1. Γ ⊨ α
2. Γ가 참인 해석 I 하에서, α는 언제나 참이 된다.
3. 귀결은 논증의 의미론적 성질이다.