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문제
설명
N×N개의 수가 N×N 크기의 표에 채워져 있다. (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구하는 프로그램을 작성하시오. (x, y)는 x행 y열을 의미한다.
예를 들어, N = 4이고, 표가 아래와 같이 채워져 있는 경우를 살펴보자.
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| 3 | 4 | 5 | 6 |
| 4 | 5 | 6 | 7 |
여기서 (2, 2)부터 (3, 4)까지 합을 구하면 3+4+5+4+5+6 = 27이고, (4, 4)부터 (4, 4)까지 합을 구하면 7이다.
표에 채워져 있는 수와 합을 구하는 연산이 주어졌을 때, 이를 처리하는 프로그램을 작성하시오.
입력
첫째 줄에 표의 크기 N과 합을 구해야 하는 횟수 M이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1024, 1 ≤ M ≤ 100,000) 둘째 줄부터 N개의 줄에는 표에 채워져 있는 수가 1행부터 차례대로 주어진다. 다음 M개의 줄에는 네 개의 정수 x1, y1, x2, y2 가 주어지며, (x1, y1)부터 (x2, y2)의 합을 구해 출력해야 한다. 표에 채워져 있는 수는 1,000보다 작거나 같은 자연수이다. (x1 ≤ x2, y1 ≤ y2)
출력
총 M줄에 걸쳐 (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구해 출력한다.
풀이
접근법
이차원 배열에 대한 접두사 합계(Prefix Sum)을 구하면 된다.
일차원 배열과 다른 점은 (2, 2) ~ (3, 4)까지의 합을 구한다고 했을 때 (2, 1), (1, 3) 같은 값들은 합에 들어가지 않는다는 것이다.
따라서 단순히 선형으로 모든 수의 합을 쭉 구하면 문제를 풀 수 없다.
나의 풀이
접근법을 토대로 문제를 풀면 아래와 같다.
import sys
input = sys.stdin.readline
N, M = map(int, input().split())
array: list[int] = list(map(int, input().split()))
dp: list[int] = [ [0] * (N+1) for _ in range(N+1) ]
for i in range(N):
for j in range(N):
dp[i+1][j+1] = dp[i][j+1] + dp[i+1][j] - dp[i][j] + array[i][j]
for _ in range(M):
x1, y1, x2, y2 = map(int, input().split())
print(dp[x2][y2] - (dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y2]) + dp[x1-1][y1-1])Big-O
길이가 N인 배열에 대해 (N+1) * (N+1) 길이의 이차원 배열을 생성한 뒤 반복문을 수행하며 합을 미리 계산해서 문제를 해결했기 때문에 시간 복잡도는 O(N)이다.
