스패닝 트리 알고리즘

스패닝 트리(Spanning Tree)란?

• 그래프 내의 모든 정점을 포함하지만 사이클이 없는 트리로, 신장 트리라고도 한다.
• 스패닝 트리는 그래프의 최소 연결 부분 그래프이다.
  • 최소 연결은 간선의 수가 가장 적은 것을 의미한다.
  • n개의 정점을 가지는 그래프의 최소 간선의 수는 (n-1)개이다.

Spanning Tree의 특징

• DFS, BFS을 이용하여 그래프에서 신장 트리를 찾을 수 있다.
• 하나의 그래프에는 많은 신장 트리가 존재한다.
• Spanning Tree는 트리의 특수한 형태이므로 모든 정점들이 연결되어 있어야 한다.
  • 또한 사이클을 포함해서는 안된다.
    
    
    

MST(Minimum Spanning Tree)란?

• Spanning Tree 중 사용된 간선들의 가중치 합이 최소인 트리
  
  

MST의 특징

• 간선의 가중치의 합이 최소여야 한다.
• n개의 정점을 가지는 그래프에 대해 반드시 (n-1)개의 간선만 사용한다.
• 사이클이 포함되어서는 안된다.

MST의 구현 방법

<Kruskal MST 알고리즘>
-> 탐욕적인 방법(greedy method)을 이용하여 네트워크(가중치를 간선에 할당한 그래프)의 모든 정점을 최소 비용으로 연결하는 최적 해답을 구하는 것

• MST가 최소 비용의 간선으로 구성되어야 한다.
• 사이클을 포함하지 않는다.
• 이전 단계에서 만들어진 신장 트리와는 상관없이 최소 간선만을 선택하는 방법이다.

[과정]

• 그래프의 간선들을 가중치의 오름차순으로 정렬한다.
• 정렬된 간선 리스트에서 순서대로 사이클을 형성하지 않는 간선을 선택한다.
  • 즉, 가장 낮은 가중치를 먼저 선택한다.
  • 사이클을 형성하는 간선을 제외한다.
• 해당 간선을 현재의 MST(최소 비용 신장 트리)의 집합에 추가한다.
  
  

<Prim MST 알고리즘>
-> 시작 정점에서부터 출발하여 신장트리 집합을 단계적으로 확장 해나가는 방법

• 정점 선택을 기반으로 하는 알고리즘이다.
• 이전 단계에서 만들어진 신장 트리를 확장하는 방법이다.

[과정]

• 시작 단계에서는 시작 정점만이 MST(최소 비용 신장 트리) 집합에 포함된다.
• 앞 단계에서 만들어진 MST 집합에 인접한 정점들 중에서 최소 간선으로 연결된 정점을 선택하여 트리를 확장한다.
  • 즉, 가장 낮은 가중치를 먼저 선택한다.
• 위의 과정을 트리가 (N-1)개의 간선을 가질 때까지 반복한다.