문제
비내림차순으로 정렬된 수열이 주어질 때, 다음 조건을 만족하는 부분 수열을 찾으려고 합니다.
- 기존 수열에서 임의의 두 인덱스의 원소와 그 사이의 원소를 모두 포함하는 부분 수열이어야 합니다.
- 부분 수열의 합은
k입니다. - 합이
k인 부분 수열이 여러 개인 경우 길이가 짧은 수열을 찾습니다. - 길이가 짧은 수열이 여러 개인 경우 앞쪽(시작 인덱스가 작은)에 나오는 수열을 찾습니다.
수열을 나타내는 정수 배열 sequence와 부분 수열의 합을 나타내는 정수 k가 매개변수로 주어질 때, 위 조건을 만족하는 부분 수열의 시작 인덱스와 마지막 인덱스를 배열에 담아 return 하는 solution 함수를 완성해주세요. 이때 수열의 인덱스는 0부터 시작합니다.
제한사항
- 5 ≤
sequence의 길이 ≤ 1,000,000- 1 ≤
sequence의 원소 ≤ 1,000 sequence는 비내림차순으로 정렬되어 있습니다.
- 1 ≤
- 5 ≤
k≤ 1,000,000,000k는 항상sequence의 부분 수열로 만들 수 있는 값입니다.
입출력 예
| sequence | k | result |
|---|---|---|
| [1, 2, 3, 4, 5] | 7 | [2, 3] |
| [1, 1, 1, 2, 3, 4, 5] | 5 | [6, 6] |
| [2, 2, 2, 2, 2] | 6 | [0, 2] |
입출력 예 설명
입출력 예 #1
[1, 2, 3, 4, 5]에서 합이 7인 연속된 부분 수열은 [3, 4]뿐이므로 해당 수열의 시작 인덱스인 2와 마지막 인덱스 3을 배열에 담아 [2, 3]을 반환합니다.
입출력 예 #2
[1, 1, 1, 2, 3, 4, 5]에서 합이 5인 연속된 부분 수열은 [1, 1, 1, 2], [2, 3], [5]가 있습니다. 이 중 [5]의 길이가 제일 짧으므로 해당 수열의 시작 인덱스와 마지막 인덱스를 담은 [6, 6]을 반환합니다.
입출력 예 #3
[2, 2, 2, 2, 2]에서 합이 6인 연속된 부분 수열은 [2, 2, 2]로 3가지 경우가 있는데, 길이가 짧은 수열이 여러 개인 경우 앞쪽에 나온 수열을 찾으므로 [0, 2]를 반환합니다.
접근
완탐
이 문제를 완전 탐색으로 접근하게 되면, 모든 가능한 부분 수열을 찾아야 한다.
이를 위해 두 개의 반복문을 사용하여 모든 가능한 시작 인덱스와 끝 인덱스를 찾아야 한다. 이 경우 시간 복잡도는 O(n^2)이 되며, 주어진 제한사항에 따르면 최대 1,000,000의 길이를 가진 수열이 주어질 수 있으므로, 이 방법은 시간 초과를 초래한다.
최적화
이 문제를 최적화하기 위해 prefix sum과 binary search를 사용할 수 있다.
prefix sum은 배열의 각 인덱스까지의 합을 미리 계산한다. 이를 통해 특정 범위의 합을 O(1)의 시간 복잡도로 구할 수 있다.
binary search은 정렬된 배열에서 특정 값을 찾는 데 사용되며, 이 경우에는 prefix sum 배열에서 k 이상의 값을 가지는 가장 작은 인덱스를 찾는 데 사용된다.
이렇게 하면 각 시작 인덱스에 대해 해당하는 부분 수열을 찾는 데 O(log n)의 시간이 걸리므로, 전체 시간 복잡도는 O(n log n)이다. 이는 주어진 제한사항 내에서 충분히 처리 가능한 시간 복잡도이다.
풀이
class Solution {
public int[] solution(int[] sequence, int k) {
int[] prefix = new int[sequence.length + 1];
for (int i = 1; i < prefix.length; i++) {
prefix[i] = prefix[i - 1] + sequence[i - 1];
}
int[] result = new int[2];
int min = Integer.MAX_VALUE;
for (int i = 0; i < prefix.length; i++) {
int right = findRight(prefix, i, k);
if (right == prefix.length) {
break;
}
int sum = prefix[right] - prefix[i];
if (sum == k) {
if (right - i < min) {
min = right - i;
result[0] = i;
result[1] = right - 1;
}
}
}
return result;
}
private int findRight(int[] prefix, int left, int k) {
int lo = left;
int hi = prefix.length - 1;
while (lo < hi) {
int mid = lo + (hi - lo) / 2;
int sum = prefix[mid] - prefix[left];
if (sum < k) {
lo = mid + 1;
} else {
hi = mid;
}
}
return lo;
}
}먼저 prefix sum을 계산하고, 각 시작 인덱스에 대해 이분탐색을 사용하여 k 이상의 합을 가지는 가장 작은 인덱스를 찾는다.
해당 부분 수열의 합이 k인지 확인하고, 만약 그렇다면 그 부분 수열의 길이가 현재까지 찾은 가장 짧은 부분 수열의 길이보다 짧은지 확인한다.
만약 그렇다면 결과를 업데이트한다. 이 과정을 모든 시작 인덱스에 대해 반복한다.
느낀점
이 문제는 누적합과 이분탐색을 모두 사용하지 않으면 시간 복잡도가 해결이 되지 않는다.
