구간 합은 합 배열을 이용하여 시간 복잡도를 더 줄이기 위해 사용하는 특수한 목적의 알고리즘.
구간 합의 핵심 이론
구간 합 알고리즘을 활용하려면 먼저 합 배열을 구해야한다.
배열 A가 있을 때 합 배열 S는 다음과 같이 정의한다
합 배열 S의 정의
S[i] = A[0] + A[1] + A[2] + ... + A[i-1] = A[i]합 배열은 기존의 배열을 전처리한 배열.
이렇게 합 배열을 미리 구해 놓으면 기존 배열의 일정 범위의 합을 구하는 시간 복잡도가 O(N)에서 O(1)로 감소한다.
인덱스 0 1 2 3 4 5
배열 A 15 13 10 7 3 12
합 배열 S 15 28 38 45 48 96A[i]로부터 A[j]까지의 배열 합을 합 배열 없이 구하는 경우, 최악의 경우는 i가 0이고 j가 N인 경우로 시간복잡도는 O(N)이다.
이런 경우 앞에서 알아본 합 배열을 사용하면 O(1)안에 답을 구할 수 있다.
합 배열은 다음과 같은 간단한 공식으로 만들 수 있다
합 배열 S를 만드는 공식
S[i] = S[i-1] + A[i]이렇게 구현된 합 배열을 이용하여 구간 합 역시 쉽게 구할 수 있다.
i에서 j까지 구간 합을 구하는 공식은 다음과 같다
구간 합을 구하는 공식
S[j] - S[i-1] // i에서 j까지 구간 합다음 그림은 배열 A의 A[2]부터 A[5]까지의 구간 합을 합 배열을 통해 구하는 과정을 보여준다
인덱스 0 1 2 3 4 5
배열 A 15 13 10 7 3 12
S[5] <-------------------->
S[1] <------------->
구하고자 하는 구간 합 영역그림을 보면 합 배열과 구간 합이 연관되어 있다는 것을 알 수 있다.
A[0] + ... + A[5]에서 A[0] + A[1]을 빼면 구간 합 A[2] + ... + A[5]가 나오므로
S[5]에서 S[1]을 빼면 구간 합을 쉽게 구할 수 있다.
합 배열만 미리 구해 두면 구간 합은 한 번의 계산으로 구할 수 있는 것이다.
S[5] = A[0] + A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5]
S[1] = A[0] + A[1]
S[5] - S[1] = A[2] + A[3] + A[4] + A[5]합 배열과 구간 합 공식을 적재적소에 활요하면 코딩 테스트에서 시간 복잡도를 줄이는 데 많은 도움이 될 수 있다.
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