최단 경로 문제는 보통 그래프를 이용해 표현되며, 각 지점은 그래프 상 '노드', 지점 간 연결된 도로는 그래프의 '간선'으로 표현된다.
다익스트라(Dijkstar) 최단 경로 알고리즘
그래프에서 여러개의 노드가 존재할 때, 특정 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이며, '음의 간선'이 없을 때 적용 가능
다익스트라 알고리즘의 원리
기본적으로 그리디 알고리즘으로도 볼 수 있음
각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 1차원 리스트에 계속해서 갱신해 나가는 것이 가장 큰 특징!
1) 출발 노드 설정
2) 최단 거리 테이블 초기화
3) 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택
4) 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블 갱신
5) 3,4번 과정 반복
다익스트라 동작원리
1단계
초기상태에서는 다른 모드로 가는 최단 거리를 무한 (실제 코드에서는 int(1e9) 사용)으로 초기화
2단계
출발 노드인 1을 기준으로 다른 모든 노드로의 최단거리를 계산
3단계
1번 노드를 방문처리 후 1번 노드 기준으로 가장 거리가 가까운 4번노드로 이동
4번 노드를 거쳐서 갈 수 있는 노드 확인
-> 이 때, 4번 노드를 거쳐 5번노드로 이동이 가능하며 5번 노드를 이동하는 거리는 1+1 = 2
1 - 4 - 5로 가는 경로와 1-2로 가는 길이가 같으므로, 2번 노드를 거쳐 가는 경로를 고려하여 최단거리 테이블 갱신 후 5를 거쳐 가는 경우 최단거리 테이블 역시 갱신
뿐만 아니라, 2번 노드를 거쳐서 기존의 최단거리 테이블보다 더 빨리 도달가능한 노드가 있는지 검사 후 테이블 갱신
- ex) 2번 노드를 거쳐 3번 노드로 이동하는 경우, 2+3 만큼의 비용이 발생하지만, 이미 현재 최단 거리 테이블 내의 3번 노드까지의 거리가 4이므로 갱신은 X
4단계
4번 노드 방문처리 후 5번 노드로 이동
5번 노드에서는 3,6번 노드로 이동할 수 있으며, 이때도 기존의 최단거리 테이블과 5번노드를 거쳐 이동하는 경우의 최단거리를 비교하여 더 작은 경우 테이블 값 갱신
이후 3, 6번 노드로 차례로 이동하며 테이블 갱신
마지막 최단거리 테이블을 통해 1번 노드에서 출발 했을때, 각각의 노드까지 가기 위한 최단 경로 값을 알 수 있음.
- 다익스트라 알고리즘은 반드시 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾음!
다익스트라 알고리즘 소스코드 - 1
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
for i in range(1, n + 1):
if distance[i] < min_value and not visited[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start):
# 시작 노드에 대해서 초기화
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] = j[1]
# 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
for i in range(n - 1):
# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
# 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for j in graph[now]:
cost = distance[now] + j[1]
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])일반적으로, O(V)번에 걸쳐 최단 거리가 가자 짧은 노드를 매번 선형 탐색하고, 현재 노드와 연결된 노드를 일일히 매번 확인하므로 시간복잡도는 O(V^2)
다익스트라 알고리즘 소스코드 - 2
최악의 경우에도 시간복잡도 O(E logV)를 보장
V : 노드의 개수 E : 간선의 개수
핵심은 "현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로 우선순위 큐를 사용하는 것"
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q: # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])