[BOJ] 17266번 : 어두운 굴다리

문제

인하대학교 후문 뒤쪽에는 어두운 굴다리가 있다. 겁쟁이 상빈이는 길이 조금이라도 어둡다면 가지 않는다. 따라서 굴다리로 가면 최단거리로 집까지 갈수 있지만, 굴다리는 어둡기 때문에 빙빙 돌아서 집으로 간다. 안타깝게 여긴 인식이는 굴다리 모든 길 0~N을 밝히게 가로등을 설치해 달라고 인천광역시에 민원을 넣었다. 인천광역시에서 가로등을 설치할 개수 M과 각 가로등의 위치 x들의 결정을 끝냈다. 그리고 각 가로등은 높이만큼 주위를 비출 수 있다. 하지만 갑자기 예산이 부족해진 인천광역시는 가로등의 높이가 높을수록 가격이 비싸지기 때문에 최소한의 높이로 굴다리 모든 길 0~N을 밝히고자 한다. 최소한의 예산이 들 높이를 구하자. 단 가로등은 모두 높이가 같아야 하고, 정수이다.

다음 그림을 보자.

가로등의 높이가 H라면 왼쪽으로 H, 오른쪽으로 H만큼 주위를 비춘다.

다음 그림은 예제1에 대한 설명이다.

가로등의 높이가 1일 경우 0~1사이의 길이 어둡기 때문에 상빈이는 지나가지 못한다.
아래 그림처럼 높이가 2일 경우 0~5의 모든 길이 밝기 때문에 상빈이는 지나갈 수 있다.

- 시간 제한 : 1초
- 메모리 제한 : 256MB

입력

첫 번째 줄에 굴다리의 길이 N 이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 100,000)
두 번째 줄에 가로등의 개수 M 이 주어진다. (1 ≤ M ≤ N)
다음 줄에 M 개의 설치할 수 있는 가로등의 위치 x 가 주어진다. (0 ≤ x ≤ N)
가로등의 위치 x는 오름차순으로 입력받으며 가로등의 위치는 중복되지 않으며, 정수이다.

출력

굴다리의 길이 N을 모두 비추기 위한 가로등의 최소 높이를 출력한다.

접근 방법

최악의 경우 N = 100,000일 때, 높이 1부터 100,000까지 100,000개의 가로등에 대해 모두 살펴보아야 하므로 시간 복잡도가 O(10^10)가 되므로 시간 제한을 초과하게 됩니다. 이 문제도 이진 탐색으로 높이를 탐색하여 정답을 찾아내어야 합니다.

정답을 찾아내기 위해서 높이가 주어졌을 때, 가로등이 굴다리의 모든 길을 밝힐 수 있는지 알아내어야 합니다. 가장 최근에 검사한 가로등이 밝히는 위치에서 다음 가로등까지의 거리가 높이 이하인지 검사를 하여야합니다.

/**
    * @param height 가로등의 높이
    * @return 가로등의 높이가 주어졌을 때,
    * 모든 길을 밝힐 수 있으면 true, 그렇지 않으면 false
    */
static boolean coverAll(int height) {
    int lastPosition = 0;

    for (int i : positions) {
        // 가로등이 있어야할 곳 보다 멀리 있어서
        // 모든 길을 밝힐 수 없을 경우
        if (lastPosition + height < i) {
            return false;
        }

        // 가로등이 어디까지 밝혔는지
        lastPosition = i + height;
    }

    // 모든 가로등이 밝히는 거리가
    // 길의 길이보다 길어야한다.
    return lastPosition >= n;
}

위 함수와 이진 탐색을 통해 O(N log N)의 시간 복잡도로 아래와 같이 문제를 해결할 수 있습니다.

코드

import java.lang.*;
import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {

    static int n, m;
    static int[] positions;
    static int result;

    public static void main(String[] args) {
        input();
        func();
        System.out.println(result);
    }

    static void input() {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();
        positions = new int[m];

        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            positions[i] = sc.nextInt();
        }

        sc.close();
    }

    static void func() {
        int left = 1;
        int right = 100_000;

        // 이진 탐색으로 답을 찾는다.
        while (left <= right) {
            int mid = (left + right) / 2;

            // 높이가 mid일 때, 모든 길을 밝힐 수 있으면
            // 가로등의 높이가 더 낮을 때 모든 길을 밝힐 수 있는지 탐색해봐야 한다.
            if (coverAll(mid)) {
                right = mid - 1;

            // 모든 길을 밝힐 수 없으면,
            // 가로등의 높이가 더 높아야 한다.
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }

        result = left;
    }

    /**
     * @param height 가로등의 높이
     * @return 가로등의 높이가 주어졌을 때,
     * 모든 길을 밝힐 수 있으면 true, 그렇지 않으면 false
     */
    static boolean coverAll(int height) {
        int lastPosition = 0;

        for (int i : positions) {
            // 가로등이 있어야할 곳 보다 멀리 있어서
            // 모든 길을 밝힐 수 없을 경우
            if (lastPosition + height < i) {
                return false;
            }

			// 가로등이 어디까지 밝혔는지
            lastPosition = i + height;
        }

        // 모든 가로등이 밝히는 거리가
        // 길의 길이보다 길어야한다.
        return lastPosition >= n;
    }
}

주의할 점

해당 문제에서는 가로등의 위치가 오름차순으로 입력이 되기때문에 정렬을 할 필요가 없습니다.