시간 복잡도 와 Big-O(빅-오) 표기법

YoungSeo_Study.log·2022년 3월 1일
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시간 복잡도

문제를 해결하기 위한 알고리즘 로직을 코드로 구현할 때, 효율적인 풀이방법을 위해 시간 복잡도를 고려해야 한다.
시간복잡도를 고려한다는 것은, 입력값이 커짐에 따라 증가하는 시간의 비율을 최소화한 알고리즘을 구성하려고 하는 것이다.

시간 복잡도를 표기하는 방법은 세 가지 표기법으로 시간 복잡도를 각각 최악, 최선, 중간(평균)의 경우에 대하여 나타내는 방법들이 있다. 그 중 가장 많이 사용하는 Big-O 표기법에 대해 알아본다.

Big-O(빅-오)
Big-Ω(빅-오메가)
Big-θ(빅-세타)

Big-O 표기법

Big-O 표기법은 입력값의 변화에 따라 연산을 실행할 때, 연산 횟수에 비해 걸리는 시간를 표기하는 방법이다.

빅오 표기법은 최악의 경우를 고려하므로 프로그램이 실행되는 과정에서 최악의 경우가 발생하지 않기를 바라며 시간을 계산하는 것보다는 최악의 경우에 대비하는 것이 바람직하기에, 다른 표기법보다 Big-O 표기법을 많이 사용한다.


Big-O 표기법의 종류

O(1)

O(1)는 constant complexity라고 하며, 입력값이 증가하더라도 시간이 늘어나지 않는다. 즉, 입력값의 크기와 관계없이, 즉시 출력값을 얻어낸다.

ex) O(1)의 시간 복잡도를 가진 알고리즘
예를 들어 arr의 요소가 1000이여도, 해당 index에 접근해 값을 즉시 반환한다.

function O_1_algorithm(arr, index) {
	return arr[index];
}
let arr = [1, 2, 3, 4, 5];
let index = 1;
let result = O_1_algorithm(arr, index);
console.log(result); // 2

O(n)


O(n)은 linear complexity라고 부르며, 입력값이 증가함에 따라 시간 또한 같은 비율로 증가한다.

예를 들어 입력값이 1일 때 1초의 시간이 걸리고, 입력값을 10배로 증가시켰을 때 1초의 10배인 10초가 걸리면 O(n)의 시간 복잡도를 가진 알고리즘이다.

O(n)의 시간 복잡도를 가진 알고리즘

function O_n_algorithm(n) {
	for (let i = 0; i < n; i++) {
	// n=1이면, i=0일때 i++ => 1 증가
	}
}

function another_O_n_algorithm(n) {
	for (let i = 0; i < 2n; i++) {
	// n의 두배 => 2씩 증가
	}
}

위의 두 알고리즘음, 입력값이 증가함에 따라 같은 비율로 걸리는 시간이 늘어나고 있습니다. 첫번째 알고리즘은 1씩, 2번째 알고리즘은 입력값이 1 증가할때마다 코드의 실행 시간이 2초씩 증가하고 있다.
2번째 알고리즘은 O(2n) 이라고 생각하게되지만, Big-O 표기법으로는 O(n)으로 표기한다.
입력값이 커지면 커질수록 계수(n 앞에 있는 수)의 의미(영향력)가 점점 퇴색되기 때문에, 동일한 비율로 증가하고 있다면 2배가 아닌 10배로 증가하더라도 O(n)으로 표기한다.

O(log n)

O(log n)은 logarithmic complexity라고 부르며 Big-O표기법중 O(1) 다음으로 빠른 시간 복잡도를 가진다.

자료구조 BST에선 원하는 값을 탐색할 때, 노드를 이동할 때마다 경우의 수가 절반으로 줄어듭니다. 이해하기 쉬운 게임으로 비유해 보자면 up & down을 예로 들 수 있습니다.

1~100 중 하나의 숫자를 플레이어1이 고른다 (30을 골랐다고 가정합니다).
50(가운데) 숫자를 제시하면 50보다 작으므로 down을 외친다.
1~50중의 하나의 숫자이므로 또다시 경우의 수를 절반으로 줄이기 위해 25를 제시한다.
25보다 크므로 up을 외친다.
경우의 수를 계속 절반으로 줄여나가며 정답을 찾는다.
매번 숫자를 제시할 때마다 경우의 수가 절반이 줄어들기 때문에 최악의 경우에도 7번이면 원하는 숫자를 찾아낼 수 있게 됩니다.

BST의 값 탐색도 같은 로직으로 O(log n)의 시간 복잡도를 가진 알고리즘(탐색기법)입니다.

O(n2)

O(n2)은 quadratic complexity라고 부르며, 입력값이 증가함에 따라 시간이 n의 제곱수의 비율로 증가한다.

예를 들어 입력값이 1일 경우 1초가 걸리던 알고리즘에 5라는 값을 주었더니 25초가 걸리게 된다면, 시간 복잡도는 O(n2)이다.

ex) O(n2)의 시간 복잡도를 가진 알고리즘

function O_quadratic_algorithm(n) {
	for (let i = 0; i < n; i++) {
		for (let j = 0; j < n; j++) {
		// do something for 1 second
		}
	}
}

function another_O_quadratic_algorithm(n) {
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = 0; j < n; j++) {
for (let k = 0; k < n; k++) {
// do something for 1 second
}
}
}
}


2n, 10n.. 을 모두 O(n)이라고 표현하는 것처럼, n3과 n5 도 모두 O(n2)로 표기합니다. (n이 커지면 커질수록 지수가 주는 영향력이 점점 퇴색되기 때문)


## O(2n)

![](https://velog.velcdn.com/images%2Festell%2Fpost%2Ff32a7f6e-443b-403a-826e-0f440069885a%2F%E1%84%89%E1%85%B3%E1%84%8F%E1%85%B3%E1%84%85%E1%85%B5%E1%86%AB%E1%84%89%E1%85%A3%E1%86%BA%202022-03-02%20%E1%84%8B%E1%85%A9%E1%84%8C%E1%85%A5%E1%86%AB%204.03.34.png)

O(2n)은 exponential complexity라고 부르며 **Big-O 표기법 중 가장 느린 시간 복잡도**를 가진다.

구현한 알고리즘의 시간 복잡도가 O(2n)이라면 다른 접근 방식을 고민하는 것이 좋다.
>O(2n)의 시간 복잡도를 가지는 알고리즘
>
```js
function fibonacci(n) {
	if (n <= 1) {
		return 1;
	}
	return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

재귀로 구현하는 피보나치 수열은 O(2n)의 시간 복잡도를 가진 대표적인 알고리즘이다.
브라우저 개발자 창에서 n을 40으로 두어도 수초가 걸리는 것을 확인할 수 있으며, n이 100 이상이면 평생 결과를 반환받지 못할 수도 있다.

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느리지만 조금씩 공부하는 중 입니다. 현재 3개월차 신입입니다 ><!

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