1. 그리디(Greedy) 알고리즘
1. 개념
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그리디 알고리즘(탐욕법)은 현재 상황에서 지그 당장 좋은 것만 고르는 방법을 의미
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일반적인 그리디 알고리즘은 문제를 풀기 위한 최소한의 아이디어를 떠올릴 수 있는 능력을 요구함
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그리디 해법은 그 정당성 분석이 중요하다!
- 단순히 가장 좋아 보이는 것을 반복적으로 선택해도 최적의 해를 구할 수 있는지 검토한다.
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최적의 해
- 단순히 매 상황에서 가장 큰 값만 고른다면?
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일반적인 상황에서 그리디 알고리즘은 최적의 해를 보장할 수 없을 때가 많다
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하지만 코딩 테스트에서의 대부분의 그리디 문제는 탐욕법으로 얻은 해가 최적의 해가 되는 상황에서, 이를 추론할 수 있어야 풀리도록 출제된다.
2. 문제 : 거스름 돈
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문제
당신은 음식저의 계산을 도와주는 점원이다. 카운터에는 거스름돈으로 사용할 500원, 100원, 50원, 10원짜리 동전이 무한히 존재한다고 가정한다. 손님에게 거슬러 주어야 할 돈이 N원일 때 거슬러 주어야 할 동전의 최소 개수를 구하여라. 단, 거슬러 줘야 할 돈 N은 항상 10의 배수여야 한다. -
문제 해결 아이디어
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최적의 해를 빠르게 구하기 위해서는 가장 큰 화폐 단위부터 돈을 거슬러 주면된다.
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N원을 거슬러줘야 할 때, 가장 먼저 500원으로 거슬러 줄 수 있을 만큼 거슬러 준다
- 이후에 100원, 50원, 10원짜리 동전을 차례대로 거슬러 줄 수 있을 만큼 거슬러 주면된다.
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N = 1260일 때의 예시를 확인해보자.
- 동전이 무한히 존재한다고 가정을 했기 때문에 동전의 개수를 생각하지 않고 500원 2개 100원 2개 50원 1개 10원 1개를 거슬러 줄 것임
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정당성 분석
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가장 큰 화폐 단위부터 돈을 거슬러 주는 것이 최적의 해를 보장하는 이유는 무엇일까?
- 가지고 있는 동전 중에서 큰 단위가 항상 작은 단위의 배수이므로 작은 단위의 동전들을 종합해 다른 해가 나올 수 없기 때문이다.
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만약에 800원을 거슬러 주어야 하는데 화폐단위가 500원, 400원, 100원이라면 어떻게 될까?
- 사실 큰 단위로 생각하면 500원 1개, 100원 3개를 거슬러 줘야하지만 최적의 해는 400원 2개가 답이라고 생각할 수 있다. 다시말해, 큰 단위가 작은 단위의 배수가 아니라면 이와 같은 알고리즘을 이용해서 최적의 해를 보장할 수 없다. 500원짜리가 400원짜리의 배수가 아니기 때문에 이런 문제가 발생하는 것이다.
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그리디 알고리즘 문제에서는 이처럼 문제 풀이를 위한 최소한의 아이디어를 떠올리고 이것이 정당한지 검토할 수 있어야 한다.
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거스름돈 답안 예시
n = 1260
count = 0
# 큰 단위의 화폐부터 차례로 확인
array = [500, 100, 50, 10]
for coin in array:
count += n // coin # 해당 화폐로 거슬러 줄 수 있는 동전의 개수 세기
n %= coin
print(count)
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시간복잡도 분석
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이제 이 거스름돈 풀이 방법을 분석해보면, 화폐의 종류가 K라고 할 때, 소스코드의 시간복잡도는 O(K)이다.
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이 알고리즘의 시간 복잡도는 거슬러줘야하는 금액과는 무관하며, 동전의 총 종류에만 영향을 받는다
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3. 문제 : 1이 될 때까지
- 문제
어떠한 수 N이 1이 될 때까지 다음의 두 과정 중 하나를 반복적으로 선택하여 수행하려고 한다. 단, 두 번째 연산은 N이 K로 나누어 떨어질 때만 선택할 수 있다.
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N에서 1을 뺀다
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N을 K로 나눈다
예를 들어 N이 17, K가 4라고 가정해보자. 이때, 1번의 과정을 한 번 수행하면 N은 16이 된다. 이후에 2번의 과정을 수행하면 N은 1이 된다. 결과적으로 이 경우 전체 과정을 실행한 횟수는 3이되고, 이는 N을 1로 만드는 최소 횟수이다.
N과 K가 주어질 때 N이 1이 될 때까지 1번 혹은 2번의 과정을 수행해야 하는 최소 횟수를 구하는 프로그램을 작성해보아라
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문제 해결 아이디어
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주어진 N에 대하여 최대한 많이 나누기를 수행하면 된다.
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N의 값을 줄일 때 2 이상의 수로 나누는 작업이 1을 빼는 작업보다 수를 훨씬 많이 줄일 수 있다(직관적으로?)
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예를 들어 N = 25, K = 3 일때는 아래와 같다.
- 0단계 N = 25
- 1단계 3으로 나누어 떨어지지 않으므로 -1 N = 24
- 2단계 3으로 나누어 떨어지므로 N = 8
- 3단계 3으로 나누어 떨어지지 않으므로 -1 N = 7
- 4단계 3으로 나누어 떨어지지 않으므로 -1 N = 6
- 5단계 3으로 나누어 떨어지므로 N = 2
- 6단계 3으로 나누어 떨어지지 않으므로 -1 N = 1
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정당성 분석
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가능하면 최대한 많이 나누는 작업이 최적의 해를 항상 보장할 수 있을까?
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N이 아무리 큰 수여도, K로 계속 나눈다면 기하급수적으로 빠르게 줄일 수 있다.
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다시 말해, K가 2 이상이기만 하면, K로 나누는 것이 1을 빼는 것보다 항상 빠르게 N을 줄일 수 있다.
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또한, N은 항상 1에 도달하게 된다
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최적의 해가 성립이 된다.
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답안 에시
n, k = map(int, input().split())
result = 0
while True:
# N이 K로 나누어 떨어지는 수가 될 때까지 빼기
target = (n // k) * k ## 10 , 3이었을때 target은 9가됨 ## 스킬 : 나누어 떨어지는 수가 n 과 가까운 값을 찾고자 할때
result += (n-target) ## result 는 1이됨
n = target ## n = 9
# N 이 K보다 작을 때 (더 이상 나눌 수 없을때 반복문 탈출)
if n < k: ## 아니라면
break
result += 1 ## result는 2
n //= k ## n = 3
# 마지막으로 남은 수에 대하여 1씩 빼기
result += (n-1) ## result = 2
print(result)
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6참고 자료
서적 : 이것이 코딩 테스트다 with 파이썬
채널 : '동빈나' YouTube Channel
