항등원, 역원

항등원과 역원의 조건

1. 해당 연산에 대하여 닫혀있어야 한다.
   • 닫혀있다: 공집합이 아닌 어떤 집합 S에서 임의의 두 원소를 뽑아 연산을 했을 때 그 결과값이 항상 집합 S에 포함된다.
2. 교환법칙이 성립해야한다.

항등원의 의미

집합 S의 임의의 원소 a와 원소 b를 연산하였을 때 연산 결과가 a가 된다면 b를 연산에 대한 항등원이라고 한다. 즉, 연산을 한 결과가 자기 자신이 되도록 하는 수이다.

예를들어

1. 집합 S의 원소 a = 10이고, 원소 b = 0이라할 때, $a + b = 10$으로 연산결과가 a와 같으므로 0(b)은 덧셈의 항등원이다.

2. 집합 S의 원소 a = 10이고, 원소 b = 1이라할 때, $a \times b = 10$으로 연산결과가 a와 같으므로 1(b)은 곱셈의 항등원이다.

이는 사칙연산에 모두 적용될 수 있다.

역원의 의미

집합 S의 임의의 원소 a와 원소 b의 연산의 결과가 항등원e가 될 때 b를 연산에 대한 a의 역원이라 한다.

예를들어

1. 집합 S의 원소 a = 10이고, 원소 b = 1/10이라할 때, $a \times b = 1$이므로 곱셈의 항등원과 같은 값이 나온다. 그러므로 1/10(b)은 곱셈에 대한 a의 역원이다.

2. 집합 S의 원소 a = 10이고, 원소 b = -10이라할 때, $a + b =0$이므로 덧셈의 항등원과 같은 값이 나온다. 그러므로 -10(b)는 덧셈에 대한 a의 역원이다.

연습문제

항등원을 e, 역원을 x라고 하자.

• a + e - 3 = a를 만족하는 e는 항등원이다. 즉 e = 3이다.

5의 역원은 연산의 결과가 항등원인 3이 나오도록 하면 된다.

즉 △ 연산에 대한 항등원은 3이고, △ 연산에 대한 5의 역원은 1이다.