슈뢰딩거의 고양이 실험을 생각해보자. 이 실험에서는 상자 안에 고양이가 들어 있고, 고양이의 생사 여부는 양자 상태로 표현된 입자에 의해 결정된다. 입자가 붕괴하면 독이 방출되어 고양이가 죽고, 붕괴하지 않으면 고양이는 살아 있다. 양자 역학에 따르면, 관측이 이루어지기 전까지 고양이는 살아 있는 상태와 죽어 있는 상태가 중첩된 상태에 있다. 그렇다면, 그 중첩된 상태란 도대체 무엇일까? 바로 이러한 것을 양자 상태라고 부른다. 양자 상태는 수학적으로 명확하게 다룰 수 있지만, 측정이 불가능하다. 마치 베토벤이 음악을 들을 수 없던 것처럼, 우리는 양자 상태 자체를 직접 측정할 수 없으나, 베토벤이 작곡을 할 수 있었던 것 처럼, 우리는 디렉 표기법을 통해 양자 상태를 기술할 수 있다.

While talking to a friend, who is a computer scientist, I marveled at the fact that Beethoven could compose music while deaf. She told me “this is possible because of a good notation” - 출처 : chapter 1 of the lecture note.

양자역학에서 말하는 모든 측정 가능한 물리량은 디랙 표기법을 사용하여 간결하게 표현될 수 있다. 여기서 말하는 측정가능한 물리량이란 무엇인가? 먼저, 양자역학에서는 근본적으로 확률이 내재되어 있음을 이야기 해야겠다.

양자역학에 내재된 확률

물론, 고전역학의 상황도 확률로 기술되기도 한다. 그러나, 양자역학이 확률을 요구하는 것과 고전역학이 확률을 요구하는 것에는 근본적인 차이가 있다. 예를들어서, 브라운 운동을 생각하자.

브라운 운동이란?

브라운 운동은 1827년 로버트 브라운이 현미경을 통해 액체 방울 속의 꽃가루 입자가 무작위로 움직이는 것을 관찰한 현상이다. 꽃가루 입자는 액체 내의 분자들과 끊임없이 충돌하면서 불규칙하게 움직인다. 이러한 운동은 고전역학적으로 설명할 수 있다. 브라운은 꽃가루 입자의 위치를 기술하기 위해 확률을 도입했다.

고전역학에서의 확률

브라운 운동의 경우, 확률은 실험의 한계(초기조건을 알 수 없어서)에 의해서 도입된 것이다. 고전 역학에서는, 만약 시스템의 모든 초기 조건(입자들의 위치와 운동량)을 알 수 있다면, 뉴턴의 운동 방정식을 통해 정확하게 입자의 미래 위치와 운동량을 계산할 수 있다. 즉 (이론적으로) 같은 초기 조건에서 반복 실험을 하면 항상 동일한 결과를 얻을 수 있다. 따라서, 확률은 실험 조건의 불확실성에서 기인한 것이지 자연 법칙에서 기인한 것이 아니다.

양자역학에서의 확률

그러나 양자역학에서는 상황이 다르다. 여기서 확률은 실험 조건의 불확실성이 아니라, 양자 세계의 본질적인 특성에서 기인한다. 그러나, 양자역학에서도 일종의 결정론적인 명제가 성립한다. 동일한 실험을 반복하면 측정 결과에 대한 동일한 확률을 얻을 수 있다는 점에서, 확률 분포는 결정론적으로 예측할 수 있다. 이는 양자역학이 확률론적 해석을 요구하지만, 그 확률 분포가 실험 조건에 의해 결정된다는 것을 의미한다.

양자역학의 공리

양자역학의 공리는 양자상태에서 얻을 수 있는 물리량(측정가능한 물리량)이 확률로 기술됨을 암시한다. 즉, 양자역학의 공리는 측정이란 무엇인지를 정의하는 역할을 한다.

먼저, 양자 상태는 노름(normalization) 조건을 만족해야 한다:

정의 1
양자 상태는 크기가 1인 힐베르트 공간의 원소로, 켓벡터 $| \psi \rangle$로 표기한다. 다시말해서, $\langle \psi | \psi \rangle = 1$.

그리고 물리량은 그 힐베르트 공간에서 작용하는 연산자로 서술된다. 이러한 공리를 세운 이유는 다음과 같은 확률 계산방식이 맞도록 하기 위해서이다.

상태 $|\psi\rangle$에서 관측 가능량 $A$를 측정할 때 결과가 "결과이름"일 확률 $P_\psi(\text{결과이름})$는 다음과 같이 주어진다:
$P_\psi(\text{결과이름}) = |\langle \text{결과이름} | \psi \rangle|^2$

여기서 $|\text{결과이름}\rangle$은 그 결과를 나타내는 상태이자, 연산자
$A$의 고유 벡터로, 고유값 $a_n$에 대응한다. 구체적으로 말해서, 관측하는 행위는 다음과 같이 서술된다. 결과 이름을 (상태 $n$)이라 할때, 그 대응하는 고유값을 $a_n$이라 적으면, 연산자는 다음과 같이 적어질 것이다.

$A = \sum_n a_n |\text{상태}n\rangle \langle \text{상태}n |$

대부분의 물리학 교재에서는 결과의 이름을 넣는 자리에 고유값을 나타내는 문자를 넣어서 쓴다. 그러면 연산자는 $A = \sum_n a_n |a_n\rangle\langle a_n|$ 이라 간결하게 표기된다. 근데, 그 고유값의 대응하면 고유 공간의 차원이 1이 넘으면 어쩌려고 저러는거지 그래서 앞으로는 가능하면, 이 표기법으로 사용하겠다.

다만, 모든 연산자가 측정가능물리량이 될 수 없고, 다음 공리를 만족해야한다.

공리 1
물리량은 힐베르트 공간에서 작용하는 자기수반 연산자로 서술된다.

이러한 공리를 생각하는 이유는 다음 정리 때문이다.

(스펙트럼 정리) 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ 위에 콤팩트 자기 수반 작용소 $A\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$가 존재한다고 하자. 그렇다면, 스펙트럼 정리에 따르면 $A$의 고유벡터들로 구성된, ${\mathcal {H}}$의 정규 직교 기저가 존재하며, 모든 고윳값들은 실수이다.

다시말해서, 임의의 양자상태는 (관측) 연산자의 고유상태의 선형결합으로 표현되고, 양자상태를 관측를 관측한다는 것을 다음과 같이 바꾸어 적을 수 있도록 해준다.

공리 2(Projection postulate)
시스템이 연산자 $A$의 고유 상태 $|a_n\rangle$로 기술되는 고유값 $a_n$을 측정한 후, 시스템의 상태는 $|a_n\rangle$으로 붕괴된다.

위 공리는 관측하고 나면 고유상태이외의 상태는 가질 수 없음을 말한다.

그리고, 스펙트럼 정리에 의해서, 그들 (가능한 관측결과의 상태들)은 직교인것과 관측값이 실수인 것이 상당히 중요하게 여겨진다.

(고유상태의 직교성) 만약, $a_n$과 $a_l$이 다르면, $\langle a_l |a_n\rangle=0$
(고유값이 실수임) $a_n\in \mathbb{R}$

여튼, 이어서 관측에 대한 확률 계산 방식은 양자 상태의 노름 조건과 자기수반 연산자 조건이 가정되어야만 유효하기 때문에 그러한 공리를 세웠다고 말할 수 있겠다. 그리고 그 확률 계산 방식 자체도 사실 공리이다.

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공리 (확률 계산)

양자역학에서 상태 벡터 $|\psi\rangle$가 주어졌을 때, 관측 가능한 물리량 $A$에 대한 측정이 고유값 $a_n$ (그리고 이에 대응하는 고유벡터 $|a_n\rangle$이 될 확률은 다음과 같이 주어진다:

$P_\psi(a_n) = |\langle a_n | \psi \rangle|^2$

측정의 결과로 상태 벡터는 $|\psi\rangle$에서 $|a_n\rangle$로 변한다.

이러한 확률 계산 방식은 (디렉이 아니라) 맥스 본(Max Born)이 1927년에 제안한 것으로, 파동 함수 자체가 실재하는 파동이 아니라 측정 결과의 확률을 계산하는 데 사용된다는 것이다. 본은 처음에 파동 함수 자체가 확률을 제공한다고 제안했지만, 이후 파동 함수가 복소수일 수 있음을 깨닫고 그 절댓값의 제곱이 확률을 제공한다고 수정했다.

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그리고 마지막으로 가장 중요한 공리는 슈뢰딩거 방정식 그 자체이다.

공리 (슈뢰딩거 방정식)

양자역학에서 시스템의 시간에 따른 진화는 시간 의존 슈뢰딩거 방정식에 의해 기술된다. 이는 다음과 같은 형태로 주어진다:

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle$

여기서:

• $|\psi(t)\rangle$는 시간 $t$에서의 시스템의 상태 벡터이다.
• $\hbar$는 플랑크 상수 $\hbar = \frac{h}{2\pi}$이다.
• $i$는 허수 단위이다.
• $\hat{H}$는 시스템의 해밀토니안 연산자로, 시스템의 총 에너지를 나타낸다.

양자역학의 공리요약

위에서 다룬 내용을 요약하면 아래와 같다.

1. 노름 조건: 상태 벡터 $|\psi\rangle$와 고유벡터 $|a_n\rangle$는 모두 노름 조건을 만족해야 한다. 즉,
   $\langle \psi | \psi \rangle = 1 \quad \text{및} \quad \langle a_n | a_n \rangle = 1$

2. 자기수반 연산자: 관측 가능한 물리량 $A$는 힐베르트 공간에서 작용하는 자기수반 연산자로 서술된다. 이는 $A$의 고유벡터들이 정규 직교 기저를 형성하며, 고윳값이 실수임을 보장한다.

3. 확률 계산: 상태 벡터 $|\psi\rangle$가 주어졌을 때, 관측 가능한 물리량 $A$에 대한 측정 결과가 고유값 $a_n$이 될 확률은 $|\langle a_n | \psi \rangle|^2$로 계산된다. 이 확률은 상태 벡터 $|\psi\rangle$와 고유벡터 $|a_n\rangle$ 사이의 내적의 절댓값 제곱으로 나타낸다.

4. 상태의 붕괴: 측정 후, 시스템의 상태 벡터는 원래 상태 $|\psi\rangle$에서 측정된 고유 상태 $|a_n\rangle$로 변한다. 이 과정은 상태 벡터의 붕괴(collapse)라고 불린다.

5. 슈뢰딩거 방정식: 양자역학에서 시스템의 시간에 따른 진화는 시간 의존 슈뢰딩거 방정식에 의해 기술된다:
   $i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle$
   여기서 $\hat{H}$는 시스템의 해밀토니안 연산자로, 시스템의 총 에너지를 나타낸다.

측정 가능한 물리량

이제 측정 가능한 물리량이란 무엇인지 구체적으로 살펴보겠다. 양자역학에서는 상태를 나타내는 벡터와 그 상태에서의 관측 결과를 예측하는 연산자를 사용하여 시스템을 기술한다. 이러한 연산자는 측정 가능한 물리량(observables)으로 불리며, 디랙 표기법을 통해 간결하게 표현된다. 연산자는 시스템의 상태를 입력으로 받아 특정 물리량을 출력으로 제공한다. 대표적인 측정 가능한 물리량으로는 에너지, 위치, 운동량, 각운동량, 스핀 등이 있다. 이러한 연산자들은 힐베르트 공간에서 작용하는 자기수반 연산자로, 고유값이 실수이고 고유벡터들이 정규 직교 기저를 형성한다.

이제 측정 가능한 물리량이란 무엇인지 구체적으로 살펴보겠다. 양자역학에서는 상태를 나타내는 벡터와 그 상태에서의 관측 결과를 예측하는 연산자를 사용하여 시스템을 기술한다. 이러한 연산자는 측정 가능한 물리량(observables)으로 불리며, 디랙 표기법을 통해 간결하게 표현된다. 연산자는 시스템의 상태를 입력으로 받아 특정 물리량을 출력으로 제공한다. 대표적인 측정 가능한 물리량으로는 에너지, 위치, 운동량, 각운동량, 스핀 등이 있다. 이러한 연산자들은 힐베르트 공간에서 작용하는 자기수반 연산자로, 고유값이 실수이고 고유벡터들이 정규 직교 기저를 형성한다.

예시

1. 에너지 (Energy): 시스템의 에너지는 해밀토니안 연산자($\hat{H}$)로 표현된다.
   $\hat{H} | E_n \rangle = E_n | E_n \rangle$
   여기서 $|E_n\rangle$은 에너지 고유상태, $E_n$은 그에 대응하는 고유값이다.

2. 위치 (Position): 입자의 위치는 위치 연산자$\hat{x}$로 나타낸다.
   $\hat{x} | x \rangle = x | x \rangle$
   여기서 $|x\rangle$은 위치 고유상태, $x$는 그에 대응하는 고유값이다.

3. 운동량 (Momentum): 입자의 운동량은 운동량 연산자($\hat{p}$)로 나타낸다.
   $\hat{p} | p \rangle = p | p \rangle$
   여기서 $|p\rangle$은 운동량 고유상태, $p$는 그에 대응하는 고유값이다.

4. 각운동량 (Angular Momentum): 각운동량의 크기와 축에 대한 투영은 각각 각운동량 제곱 연산자$\hat{L}^2$와 각운동량 투영 연산자($\hat{L}_z$)로 나타낸다.
   $\hat{L}^2 | \ell, m \rangle = \hbar^2 \ell(\ell + 1) | \ell, m \rangle$
   $\hat{L}_z | \ell, m \rangle = \hbar m | \ell, m \rangle$
   여기서 $|\ell, m\rangle$은 각운동량 고유상태, $\ell$과 $m$은 그에 대응하는 고유값이다.

5. 스핀 (Spin): 스핀의 크기와 축에 대한 투영은 각각 스핀 제곱 연산자($\hat{S}^2$)와 스핀 투영 연산자($\hat{S}_z$)로 나타낸다.
   $\hat{S}^2 | s, m_s \rangle = \hbar^2 s(s + 1) | s, m_s \rangle$
   $\hat{S}_z | s, m_s \rangle = \hbar m_s | s, m_s \rangle$
   여기서 $|s, m_s\rangle$은 스핀 고유상태, $s$와 $m_s$는 그에 대응하는 고유값이다.

예시: 슈뢰딩거의 고양이

슈뢰딩거의 고양이의 생사여부자체가 사실 측정가능 물리량의 예시이다. 고양이의 죽음과 삶이 각각 서로 다른 고유상태로서 직교한다. 즉, 측정하고 나면 고양이는 살아있거나 죽어있는 상태로 붕괴한다.

슈뢰딩거의 고양이 실험을 통해 양자역학의 확률적 본질을 설명할 수 있다. 고양이의 상태는 살아 있는 상태 $|\text{고양이 살아있음}\rangle$와 죽어 있는 상태 $|\text{고양이 죽음}\rangle$의 중첩으로 표현된다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같다:

$|\psi\rangle = \alpha |\text{고양이 살아있음}\rangle + \beta |\text{고양이 죽음}\rangle$

여기서 $|\text{고양이 살아있음}\rangle$과 $|\text{고양이 죽음}\rangle$은 고양이의 상태를 나타내는 벡터이며, $\alpha$와 $\beta$는 복소수 계수이다.

이제 고양이의 생사여부를 확인해보자. 이러한 과정은 양자 상태를 입력받아서, (생사 여부 : 확률)을 구하는 과정으로 다음과 같은 연산자로 기술된다.

• $\hat{A}=|\text{고양이 살아있음} \rangle \langle \text{고양이 살아있음}|$

예컨대 양자 상태 고양이 $\psi$에 대해서, 고양이가 살아있는 상태를 측정할 확률은 다음과 같이 구할 수 있다:

$P(\text{고양이 살아있음}) = \langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle$

이를 구체적으로 계산해보면,

$P(\text{고양이 살아있음}) = \langle \psi | \text{고양이 살아있음} \rangle \langle \text{고양이 살아있음} | \psi \rangle$

고양이의 상태 $|\psi\rangle$를 대입하면,

$\langle \psi | \psi \rangle = (\alpha^* \langle \text{고양이 살아있음} | + \beta^* \langle \text{고양이 죽음} |) (\alpha |\text{고양이 살아있음} \rangle + \beta |\text{고양이 죽음} \rangle)$

이는 다음과 같이 전개된다:

$\langle \psi | \psi \rangle = \alpha^* \alpha \langle \text{고양이 살아있음} | \text{고양이 살아있음} \rangle + \alpha^* \beta \langle \text{고양이 살아있음} | \text{고양이 죽음} \rangle + \beta^* \alpha \langle \text{고양이 죽음} | \text{고양이 살아있음} \rangle + \beta^* \beta \langle \text{고양이 죽음} | \text{고양이 죽음} \rangle$

여기서 $\langle \text{고양이 살아있음} | \text{고양이 죽음} \rangle$과 $\langle \text{고양이 죽음} | \text{고양이 살아있음} \rangle$은 0이므로,

$\langle \psi | \psi \rangle = \alpha^* \alpha \langle \text{고양이 살아있음} | \text{고양이 살아있음} \rangle + \beta^* \beta \langle \text{고양이 죽음} | \text{고양이 죽음} \rangle$

노름(normalization) 조건에서 $\langle \text{고양이 살아있음} | \text{고양이 살아있음} \rangle = 1$이고 $\langle \text{고양이 죽음} | \text{고양이 죽음} \rangle = 1$이므로,

$\langle \psi | \psi \rangle = |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$

따라서, 고양이가 살아있는 상태일 확률은 $\alpha$의 절댓값의 제곱으로 표현된다:

$P(\text{고양이 살아있음}) = |\alpha|^2$

Mixed State

이제, 이전에 논의한 양자상태를 확장적으로 기술하고자 한다. 구별하기 위해서, 양자역학의 공리에서 다룬 양자 상태를 Pure State라고 부른다.

Mixed State를 기술하는 동기 중 하나는 양자 잡음을 모델링하기 위함이다. 양자 시스템을 구현할 때, 관련된 양자 과정은 자연스럽게 "잡음이 있는" 것으로 간주되며, 이는 특정 확률 $p_i$로 양자 상태 $|\psi_i\rangle$를 생성하는 장치로 모델링된다. 이러한 장치의 개략적인 다이어그램은 다음과 같다.

장치는 다음을 출력한다:

$\begin{cases} |\psi_1\rangle \text{ with probability } p_1, \\ |\psi_2\rangle \text{ with probability } p_2, \\ \vdots \end{cases}$

대략적으로 말하면, 이러한 양자 상태는 때로는 $\psi_1\rangle$, 때로는 $|\psi_2\rangle$ 등으로 나타난다. 이러한 양자 장치의 상태를 나타내기 위해 벡터, 예를 들어 $\sum_i p_i |\psi_i\rangle$를 사용하려고 할 수 있다. 그러나 벡터는 이러한 장치의 양자 상태를 포착하기에 적합한 개념이 아니다.

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왜 그럴까? 왜냐하면 pure state $|\psi_i\rangle$가 선형결합(superposition) 형태로 기술될 수 있기 때문이다. 그래서, 만약 mixed state를 그런 식으로 적는다면, $\sum_i p_i |\psi_i\rangle$의 형태가 그 자체로 하나의 pure state를 나타내는 것인지 mixed state를 나타내는 것인지가 모호하게 될 것이다.

많은 독자가 양자 상태에 대해 다음과 같은 질문을 할 수 있다: "양자역학에서 pure state를 선형 결합할 때 붙는 계수들이 (절대값의 제곱이라고 하지만 결국) 그냥 확률을 의미하는 거 아닌가? 그러면 mixed state 이거 자체가 일정 확률로 이 상태가 되거나 저 상태가 되는 것인데, 뭐가 다른거지?" 이러한 질문은 pure state의 개념을 명확히 이해하지 못했기 때문에 발생한다. 이를 명확히 하기 위해 슈뢰딩거의 고양이를 예로 들어보자.

$|0\rangle$은 죽은 고양이를, $|1\rangle$은 살아있는 고양이를 뜻한다고 하자.

그리고 양자 고양이 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$를 상상하자. 앞의 붙은 계수들의 절대값의 제곱은 각각 0.5, 0.5이므로, 이 수식은 이 양자고양이를 관측하면 50프로 확률로 살아있거나 죽어있음을 알려준다.

이것은 50%의 확률로 살아있거나 50% 확률로 죽어있는 고양이를 말하는 것이 아니라, (정말 이상하게 들리겠지만) 상자를 열기 전의 (동시에 죽어있으면서 살아있는) 양자 고양이를 의미한다.

물론, 양자역학의 공리에 의해서 이 양자 상태의 (죽지도 않고 살아있지도 않은) 고양이는 관측되지 않는다. 그러나, 그 공리가 동시에 살아있으면서 죽어있는 상태가 불가능함을 말하는 것은 아니다.

그래서 벡터 표기법을 사용하는 것이 적절하지 않은 것이다. 만약 양자 잡음을 모델링하기 위해 $\sum_i p_i |\psi_i\rangle$와 같은 표기를 사용한다면, 예를 들어, 앞으로 우리가 "(이미 고양이는 죽어있거나 살아있는데) 50% 확률로 고양이가 살아있고 50% 확률로 죽어있다"는 mixed state를 $\frac{1}{2}(|0\rangle+|1\rangle)$로 적으면, 이미 pure 상태를 기술하는 데 쓰이는 벡터 표기법과 충돌하게 된다.

혼합 상태(Mixed State)의 행렬 표현

밀도 행렬(density matrix) $\rho$의 정의 :

다음을 만족하는 행렬을 밀도행렬이라 부른다.

1. 자기수반성(Hermitian): $\rho = \rho^\dagger$
2. (세미) 양의 정부호(Positive Semi-definite): 모든 벡터 $|\phi\rangle$에 대해 $\langle \phi | \rho | \phi \rangle \geq 0$
3. 대각합(trace)이 1: $\text{Tr}(\rho) = 1$

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정리 혼합 상태 $\{p_i, |\psi_i\rangle\}$는 다음과 같이 행렬 $\rho$로 표현된다:

여기서 $\{p_i\}$는 확률 분포를 나타내며, $\{|\psi_i\rangle\}$는 정규화된 순수 상태 벡터(pure state)들로 이루어진 집합을 나타낸다. 각 $p_i$는 $0 \leq p_i \leq 1$이며, 모든 확률의 합은 1이다:

증명 스케치

스펙트럼 정리에 따르면, 밀도 행렬 $\rho$는 다음과 같이 분해될 수 있다:

여기서 $\{\lambda_k\}$는 고윳값들의 집합이며, $\{|\phi_k\rangle\}$는 정규직교 고유벡터들로 이루어진 집합이다. Positive Semi-definite이므로 모든 고유값은 0이상이고 모든 고윳값의 합은 대각합과 같으므로:

따라서 고윳값 $\lambda_k$는 0과 1 사이의 값을 가진다.

순수 상태와 혼합 상태

위에서 정의한 밀도 행령은 순수상태를 포함한다. 그러니까, 우리가 위에서 정의한 밀도 행렬은 순수상태를 확장한 것이라고 생각할 수 있다.

• 순수 상태: 순수 상태는 벡터 $|\psi\rangle$로 표현되며, 이 상태에 대응하는 밀도 행렬은 $\rho = |\psi\rangle \langle \psi|$이다.

순수 상태에 해당하는 밀도 행렬의 고유값의 제곱의 합은 1이다. 반면, 순수 상태가 아닌 혼합 상태의 경우 1보다 작다. 즉, 우리는 순수 상태를 혼합 상태의 특수한 경우로 취급 할 수 있다.

예제

1. 순수 상태: 상태 $\psi\rangle = \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$인 순수 상태의 밀도 행렬은
   $\rho = |\psi\rangle \langle \psi| = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} =\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$
2. 혼합 상태: 두 상태 $|\psi_1\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$와 $|\psi_2\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$가 각각 확률 0.5로 존재하는 혼합 상태는
   $\rho = 0.5 |\psi_1\rangle \langle \psi_1| + 0.5 |\psi_2\rangle \langle \psi_2| = 0.5 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 0.5 \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix}.$

이와 같이, 혼합 상태는 밀도 행렬을 통해 여러 순수 상태의 통계적 성질을 내포하며 양자 시스템의 상태를 보다 일반적으로 기술할 수 있다.

출처

• 양자역학의 공리

• 양자역학 내용

  • Chapter 1: Pure States, Kets, and Linear Spaces with Scalar Product
  • Chapter 2: The Probabilistic Interpretation of Measurements in Quantum Mechanics