최소 신장 트리 (MST, 크루스칼, 프림 알고리즘)

fldfls·2020년 4월 18일
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최소 신장 트리 (Minimum Spannig Tree)

spanning Tree 중에서 사용된 간선들의 가중치 합이 최소인 트리.
MST는 간선에 가중치를 고려하여 최소 비용의 스패닝 트리를 선택하는 것,

  • Spanning Tree는 그래프의 최소 연결 부분 그래프이다 (그래프에서 일부 간선을 선택해서 만든 트리

조건

  • 본래의 그래프의 모든 노드를 포함
  • 간선의 가중치의 합이 최소여야 한다
  • 모든 노드가 서로 연결 되어있다
  • 트리의 속성을 만족 (사이클이 존재하지 않는다)

크루스칼 알고리즘 (Kruskal Algorithm)

  • 최소 비용 신장 트리를 찾는 알고리즘
  • 가장 적은 비용으로 모든 노드를 연결하기 위해 사용하는 알고리즘
  • 최소 스패닝 트리를 찾음으로써 간선의 가중치의 합이 최솟값이 되도록 하는 알고리즘
  • 스패닝 트리 : 그래프에서 일부 간선을 선택해서 만든 트리
  • 최소 스패닝 트리 : 스패닝 트리 중에 선택한 간선의 가중치의 합이 최소인 트리

동작 원리

  1. 모든 간선들의 가중치를 오름차 순으로 정렬
  2. 가중치가 가장 작은 간선을 선택
  3. 위에서 선택한 간선이 연결하려는 2개의 노드가 서로 연결되지 않은 상태라면, 2개의 노드를 서로 연결한다.
  4. 이 과정을 반복

모든 간선들의 가중치를 오름차 순으로 정렬

가중치가 가장 작은 간선을 순서대로 선택하고 연결

2번 과정에서 사이클이 발생했을 시엔 포함을 하지 않는다

프림 알고리즘 (Prim Algorithm)

  • 시작 정점을 기준으로 가장 작은 간선과 연결된 정점을 선택하며 신장 트리를 확장 시키는 알고리즘
  • 정점 선택을 기반으로 하는 알고리즘

동작 원리

  • 임의의 간선을 선택
  • 선택한 간선의 정점으로부터 가장 낮은 가중치를 갖는 정점을 선택
  • 모든 정점이 선택될 때까지 반복

크루스칼 VS 프림

  • 프림은 정점 위주의 알고리즘, 크루스칼은 간선 위주의 알고리즘
  • 프림은 시작점을 정하고, 시작점에서 가까운 정점을 선택하면서 트리르 구성 하므로 그 과정에서 사이클을 이루지 않지만 크루스칼은 시작점을 따로 정하지 않고 최소 비용의 간선을 차례로 대입 하면서 트리를 구성하기 때문에 사이클이 이루어지는 항상 확인 해야한다.
  • 프림의 경우 최소 거리의 정점을 찾는 부분에서 자료구조의 성능에 영향을 받는다.
  • 크루스칼은 간선을 기준으로 정렬하는 과정이 오래 걸린다.
  • 간선의 개수가 작은 경우에는 크루스칼, 간선의 개수가 많은 경우에는 프림.

자세한 시간 복잡도와 구현 코드는 아래 링크
https://godls036.tistory.com/26

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