프로그래머스 - 멀쩡한 사각형

2단계

문제 설명

• 가로 길이가 Wcm, 세로 길이가 Hcm인 직사각형 종이가 있습니다. 종이에는 가로, 세로 방향과 평행하게 격자 형태로 선이 그어져 있으며, 모든 격자칸은 1cm x 1cm 크기입니다. 이 종이를 격자 선을 따라 1cm × 1cm의 정사각형으로 잘라 사용할 예정이었는데, 누군가가 이 종이를 대각선 꼭지점 2개를 잇는 방향으로 잘라 놓았습니다. 그러므로 현재 직사각형 종이는 크기가 같은 직각삼각형 2개로 나누어진 상태입니다. 새로운 종이를 구할 수 없는 상태이기 때문에, 이 종이에서 원래 종이의 가로, 세로 방향과 평행하게 1cm × 1cm로 잘라 사용할 수 있는 만큼만 사용하기로 하였습니다.
• 가로의 길이 W와 세로의 길이 H가 주어질 때, 사용할 수 있는 정사각형의 개수를 구하는 solution 함수를 완성해 주세요.

class Solution {
    public long solution(long w, long h) {
        return w * h - (w + h - gcd(w, h));
    }
    
    private long gcd(long w, long h) {
        if (w % h == 0)
            return h;
        
        return gcd(h, w % h);
    }
}

방법을 찾지 못해 다른 분들의 풀이를 참고하여 풀었습니다. 패턴을 찾아보니, 최대공약수를 이용하는 것 같은데, 정확하게 이해가 안되네요😥
그러다가 다른 풀이를 발견하였는데, 위의 방법보다 더 직관적으로 이해가 가능했습니다.

class Solution {
    public long solution(long w, long h) {
        long result = 0L;
        
        for (int i = 1; i < w; i++) {
            result += h * i / w;
        }
        
        return result * 2;
    }
}

일차함수 방정식으로 생각한 풀이였는데요, 직관적인 이해가 가능했습니다.

그림의 경우, 로 표현됩니다. x에 1부터 w - 1까지 대입하여 정수 부분만 누적한뒤, 대칭이므로 2를 곱해주면 정답이 됩니다.