[백준] 도시 분할 계획

문제 설명

동물원에서 막 탈출한 원숭이 한 마리가 세상구경을 하고 있다. 그러다가 평화로운 마을로 가게 되었는데, 그곳에서 알 수 없는 일이 벌어지고 있었다.

마을은 N개의 집과 그 집들을 연결하는 M개의 길로 이루어져 있다. 길은 어느 방향으로든지 다닐 수 있는 편리한 길이다. 그리고 각 길마다 길을 유지하는데 드는 유지비가 있다.

마을의 이장은 마을을 두 개의 분리된 마을로 분할할 계획을 가지고 있다. 마을이 너무 커서 혼자서는 관리할 수 없기 때문이다. 마을을 분할할 때는 각 분리된 마을 안에 집들이 서로 연결되도록 분할해야 한다.

각 분리된 마을 안에 있는 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재해야 한다는 뜻이다. 마을에는 집이 하나 이상 있어야 한다.

그렇게 마을의 이장은 계획을 세우다가 마을 안에 길이 너무 많다는 생각을 하게 되었다. 일단 분리된 두 마을 사이에 있는 길들은 필요가 없으므로 없앨 수 있다. 그리고 각 분리된 마을 안에서도 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재하게 하면서 길을 없앨 수 있다. 마을의 이장은 위 조건을 만족하도록 길들을 모두 없애고 나머지 길의 유지비의 합을 최소로 하고 싶다. 이것을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

• 첫째 줄에 집의 개수 N, 길의 개수 M이 주어진다.
  • N은 2이상 100,000이하인 정수이고 M은 1이상 1,000,000이하인 정수이다.
• 그 다음 줄부터 M줄에 걸쳐 길의 정보가 A, B, C 세 개의 정수로 주어지는데 A번 집과 B번 집을 연결하는 길의 유지비가 C(1 ≤ C ≤ 1,000)라는 뜻이다.

7 12
1 2 3
1 3 2
3 2 1
2 5 2
3 4 4
7 3 6
5 1 5
1 6 2
6 4 1
6 5 3
4 5 3
6 7 4

출력

• 첫째 줄에 없애고 남은 길 유지비의 합의 최솟값을 출력한다.

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코드

private val edges = mutableListOf<Triple<Int, Int, Int>>() // (A번 집, B번 집, 연결하는 길의 유지비)
private val parent = (0..100001).toMutableList() // 부모 테이블

private fun findParent(x: Int): Int {
    if (x == parent[x]) return x
    return findParent(parent[x]).also { parent[x] = it }
}

private fun unionParent(a: Int, b: Int) {
    val xa = findParent(a)
    val xb = findParent(b)
    if (xa < xb) parent[xb] = parent[xa]
    else parent[xa] = parent[xb]
}

fun main() {
    val sc = Scanner(System.`in`)

    val n = sc.nextInt() // 집의 개수
    val m = sc.nextInt() // 길의 개수

    for (i in 1 .. m) {
        val a = sc.nextInt() // A번 집
        val b = sc.nextInt() // B번 집
        val c = sc.nextInt() // A번 집과 B번 집을 연결하는 길의 유지비
        edges.add(Triple(a, b, c))
    }

    edges.sortBy { it.third } // 길의 유지비 오름차순 정렬

    var result = 0 // 길의 유지비의 합의 최솟값
    var last = 0

    for (edge in edges) {
        if (findParent(edge.first) != findParent(edge.second)) {
            unionParent(edge.first, edge.second)
            result += edge.third
            last = edge.third
        }
    }

    println(result - last)
}

문제 해설

이 문제의 핵심 아이디어는 전체 그래프에서 2개의 최소 신장 트리를 만들어야 한다는 것이다.
최소한의 비용으로 2개의 신장 트리로 분할하려면 어떻게 하면 될까?

가장 간단한 방법은 크루스칼 알고리즘으로 최소 신장 트리를 찾은 뒤에 최소 신장 트리를 구성하는 간선 중에서 가장 비용이 큰 간선을 제거하는 것이다. 그러면 최소 신장 트리가 2개의 부분 그래프로 나누어지며, 문제에서 요구하는 최적의 해를 만족한다.

따라서 최소 신장 트리를 찾은 뒤에 가장 큰 간선을 제거하면 된다.