[Algorithm running]백준-다리 놓기

* 문제

재원이는 한 도시의 시장이 되었다. 이 도시에는 도시를 동쪽과 서쪽으로 나누는 큰 일직선 모양의 강이 흐르고 있다. 하지만 재원이는 다리가 없어서 시민들이 강을 건너는데 큰 불편을 겪고 있음을 알고 다리를 짓기로 결심하였다. 강 주변에서 다리를 짓기에 적합한 곳을 사이트라고 한다. 재원이는 강 주변을 면밀히 조사해 본 결과 강의 서쪽에는 N개의 사이트가 있고 동쪽에는 M개의 사이트가 있다는 것을 알았다. (N ≤ M)

재원이는 서쪽의 사이트와 동쪽의 사이트를 다리로 연결하려고 한다. (이때 한 사이트에는 최대 한 개의 다리만 연결될 수 있다.) 재원이는 다리를 최대한 많이 지으려고 하기 때문에 서쪽의 사이트 개수만큼 (N개) 다리를 지으려고 한다. 다리끼리는 서로 겹쳐질 수 없다고 할 때 다리를 지을 수 있는 경우의 수를 구하는 프로그램을 작성하라.

• 입력
  입력의 첫 줄에는 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 그 다음 줄부터 각각의 테스트케이스에 대해 강의 서쪽과 동쪽에 있는 사이트의 개수 정수 N, M (0 < N ≤ M < 30)이 주어진다.

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단서

1. 한 사이트에 한개의 다리만 놓을 수 있다.
2. 서로 다른 다리가 겹치면 안된다.

$0 < N ≤ M < 30$ 일때 M개의 사이트 중에서 N개를 선택하는 경우의 수를 구하는 문제

조합 공식을 이용해 구하기
조합 공식 수식(n개 중 r개를 선택하는 경우의 수)
$nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

이를 위에 입력값에 대입해보면
$mCn = \frac{m!}{n!(m-n)!}$

이를 기반으로 코드 작성

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package silver;
import java.util.Scanner;

public class p1010 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int t = sc.nextInt();

        for(int i = 0; i < t; i++) {
            int n = sc.nextInt();
            int m = sc.nextInt();

            int c = 1;

            for(int j = 0; j < n; j++) {
                c *= (m - j);
                c /= (j + 1);
            }
            System.out.println(c);
        }
        sc.close();
    }
}

해석

for(int j = 0; j < n; j++) {
	c *= (m - j); // 분자 m * (m-1) * (m-2) ... (m - j)
	c /= (j + 1); // 분모 1 * 2 * ... * (j + 1)
}

1. *=(곱하기 할당 연산자) => $c * (m - j)$ 를 한 후 결과 값을 c에 넣어라
2. /=(나누기 할당 연산자) => $c / (m - j)$를 한 후 결과 값을 c에 넣어라

코드를 살펴보면 $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ 식과 다른것을 알 수 있다.
실제로 적용 된 식을 살펴보면

$nCr = \frac{n*(n - 1)*(n - 2)*(n - 3)...}{r!}$ 으로 표현되어 있다.

$(n-r)!$을 계산하지 않는다!

• $r!$ 은 for문에서 직접 계산
• $(n-r)!$을 계산하지 안하도 조합 공식이 유지된다.
  1. $(n-r)!$을 직접 계산하지 않고, 필요한 항만 곱해서 $r!$으로 나눠줌으로 빠른 연산 이 가능하도록 하였다.