Disjoint Sets 서로소 집합

• [수학] 공통 원소가 없는 두 집합
• [자료구조] 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
  union-find 자료구조라고 불리기도 한다.

트리 자료구조를 이용하며 각 원소는 노드로 표현되고, union 연산들은 간선으로 표현된다.

연산

❶ union 합집합

2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산

❷ find 찾기

특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산

계산 알고리즘

1. union 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.
   1. A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다.
   2. A'를 B'의 부모 노드로 설정한다. (B' → A')
      더 작은 원소가 부모 노드가 되도록 구현하는 경우가 많다.
2. 모든 union 연산을 처리할 때까지 ❶번 과정을 반복한다.

소스 코드

// 특정 원소가 속한 집합 찾기
const findParent = (parent, x) => {
  // 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
  if (parent[x] !== x) {
    return findParent(parent, parent[x]);
  }
  return parent[x];
}

// 두 원소가 속한 집합 합치기
const unionParent = (parent, a, b) => {
  a = findParent(parent, a);
  b = findParent(parent, b);
  if (a < b) {
    parent[b] = a;
  } else {
    parent[a] = b;
  }
}

// 노드의 개수와 간선 입력받기
const main = (v, edges) => {
  // 부모 테이블 초기화 (부모를 자기 자신으로 초기화)
  const parent = new Array(v + 1).fill(0).map((_, i) => i);

  // union 연산을 각각 수행
  edges.forEach((edge) => {
    const [a, b] = edge;
    unionParent(parent, a, b);
  });

  // 각 원소가 속한 집합 출력
  console.log("-- 각 원소가 속한 집합 --");
  for (let i = 1; i <= v; i++) {
    process.stdout.write(findParent(parent, i) + " ");
  }
  console.log()

  // 부모 테이블 내용 출력
  console.log("-- 부모 테이블 --");
  for (let i = 1; i <= v; i++) {
    process.stdout.write(parent[i] + " ");
  }
}

main(6, [[1, 4], [2, 3], [2, 4], [5, 6]]);

출력 결과

-- 각 원소가 속한 집합 --
1 1 1 1 5 5
-- 부모 테이블 --
1 1 2 1 5 5

find 함수 최적화

다만 위와 같이 구현할 경우 find 함수가 비효율적으로 동작한다. 최악의 경우 O(V)의 시간이 소요되며, 노드의 개수가 V개이고 union 연산의 개수가 M개일 때, 전체 시간 복잡도는 O(VM)이 된다.

이는 경로 압축Path Compression 기법을 적용하여 최적화가 가능하다.
경로 압축은 find 함수 재귀적으로 호출한 후 부모 테이블 값을 갱신하는 기법이다.

아래와 같이 변경하면 경로 압축 기법의 구현이 완료된다.

// 특정 원소가 속한 집합 찾기
const findParent = (parent, x) => {
  // 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
  if (parent[x] !== x) {
    parent[x] = findParent(parent, parent[x]);
  }
  return x;
}

사이클 판별

무방향 그래프 내에서의 사이클 판별에 활용할 수 있다.

알고리즘

1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
   a. 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다.
   b. 서로 같다면 사이클Cycle이 발생한 것이다.
2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 ❶번 과정을 반복한다.

소스 코드

// 노드의 개수와 간선 입력받기
const detectCycle = (v, edges) => {
  // 부모 테이블 초기화 (부모를 자기 자신으로 초기화)
  const parent = new Array(v + 1).fill(0).map((_, i) => i);

  for (const edge of edges) {
    const [a, b] = edge;
    // 사이클이 발생한 경우 종료
    if (findParent(parent, a) === findParent(parent, b)) {
      return true;
    }
    // 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(union) 수행
    else {
      unionParent(parent, a, b);
    }
  }

  return false;
}

const isCycle = detectCycle(3, [[1, 2], [1, 3], [2, 3]]);
if (isCycle) {
  console.log("사이클이 발생했습니다.");
} else {
  console.log("사이클이 발생하지 않았습니다.")
}

출력 결과

사이클이 발생했습니다.