[10일차] 기초수학 3

011. 수열

- 수열이란?

- 규칙성을 가지고 나열돼있는 수들

2,  4,  6,  8, ...,  x
a1, a2, a3, a4, ..., an (수열의 1항, 2항, .. 일반항)

an = 2n = 일반항   *찾는 게 가장 중요
n의 정의역(들어갈 수 있는 수) - 자연수
=> {an} = a의 일반항은 모르지만, 수열이구나!

3, 5, 7, 9, ... , x = 등차(차이)수열
an = 2n + 1

1, 3, 5, 7, 9, ... , x
an = 2n - 1

- 항들의 합과 항의 관계

- 특정항은 특정항까지의 합에서 특정항 이전의 항까지의 합과 같다.

수열의 합: 모든 항을 더한 것 = Sn

 3  + 5  + 7 +  9 + ...  
a1 + a2 + a3 + a4 + ... = Sn
an = 2n + 1

an = Sn - S(n-1)
단, n>= 2 (s1-s0은 x)  &  a1 = s1

실습) 다음 수열의 일반항을 구해보자

 2  + 5  + 8 +  11 + ...  
a1 + a2 + a3 + a4 + ... = Sn
an = 3n - 1 = 일반항


 5  + 9  + 13 +  17 + ...  
a1 + a2 + a3 + a4 + ... = Sn
an = 4n + 1 = 일반항


10  + 13  + 16 +  19 + ...  
a1 + a2 + a3 + a4 + ... = Sn
an = 3n + 7 = 일반항

 0  + 4  + 8 + 12 + ...  
a1 + a2 + a3 + a4 + ... = Sn
an = 4n - 4 = 일반항

---

011. 등차수열

- 등차수열이란?

- 연속된 두 항의 차이가 일정한 수열

- 2  4  6  8  10  12  14  16
    2  2  2  2   2   2   2  = 공차(d)
= 두 항의 차이가 2인 등차수열

- 등차수열과 일반항

- 등차수열 규칙성을 이용해서 일반항을 구할 수 있다

2  4  6  8  10  
a1 a2 a3 a4 a5... = Sn

a2 - a1 = 2
a3 - a2 = 2
an - a(n-1) = 2

왼쪽 / 오른쪽 다 더해보면
an - a1 = (n-1) * 2

* 공식: an = a1 + (n-1)*d = 일반항 *

an = 2 + (n-1)2 = 2n = 일반항

• 공식: an = a1 + (n-1)d = 일반항

- 등차 중항

- 연속된 세 항에서 가운데 항

		  *   **  *
5  9  13  17  21  25  29  33  37
          17   +  25  /  2
            = 21
            
an-1 + an+1 = an*2

(an-1 + an+1) / 2 = an = 등차중항

(an-1 + an+1) / 2 = an = 등차중항

- 등차수열의 합

- 규칙성(공차)을 이용해서 모든 항들의 총합을 구할 수 있다.

2  4  6  8  10  12  14  16

sn = a1 + a2 + a3 + ...+ an-2 + an-1 + an
sn = an + an-1 + an-2 + ... + a3 + a2 + a2

an + an -> a1 + a1 +(n-1)d -> 2a1 + (n-1)d

a2 + an-1 -> a1 + d + a1 + (n-1)d -d -> 2a1 + (n-1)d

2sn = n(2a1 + (n-1)d) 
sn = n(2a1 + (n-1)d) / 2 = n(a1 + an) / 2

실습) 다음 수열의 일반항을 구해보자

2  5  8  11  14  17

an = a1 + (n-1)d
an = 2 + (n-1)3
an = 2 + 3n - 3 = 3n -1


5  9  13  17  21  25

an = a1 + (n-1)d
an = 5 + (n-1)4
an = 5 + 4n - 4 = 4n + 1

실습) 다음 수열에서 a2와 a6의 등차중항을 구해보자

2  5  8  ?  14  17

(an-1 + an+1) / 2
(5 + 17) / 2 = 11 = 등차중항


5  9  13  ?  21  25
(an-1 + an+1) / 2
(9 + 25) / 2 = 17 = 등차중항

실습) 다음 수열의 합을 구해보자

2  5  8  11  14  17

sn = n(a1 + an) / 2
sn = 6(2 + 17) / 2 = 57


5  9  13  17  21  25
sn = n(a1 + an) / 2
sn = 6(5 + 25) / 2 = 90

---

013. 등차수열(파이썬)

- 등차수열

- 다음 수열을 보고 n번째 항의 값을 출력하는 프로그램을 만들어보자

an = {2, 5, 8, 11, 14, ... }

-> a1, d, n 입력

inputN1 = int(input('a1 입력: '))
inputD= int(input('공차 입력: '))
inputN = int(input('n 입력: '))

valueN = 0
n = 1 #반복문 돌리기 위해
while n <= inputN:

    if n == 1:
        valueN = inputN1
        print('{}번째 항의 값: {}'.format(n, valueN))
        n += 1
        continue

    valueN += inputD
    print('{}번째 항의 값: {}'.format(n, valueN))
    n += 1

print('{}번째 항의 값: {}'.format(inputN, valueN))

-->
a1 입력: 2
공차 입력: 3
n 입력: 7
1번째 항의 값: 2
2번째 항의 값: 5
3번째 항의 값: 8
4번째 항의 값: 11
5번째 항의 값: 14
6번째 항의 값: 17
7번째 항의 값: 20
7번째 항의 값: 20

또는

#등차수열(일반항) 공식: an = a1 + (n-1)d
valueN = inputN1 + (inputN-1) * inputD
print('{}번째 항의 값: {}'.format(inputN, valueN))

-->
a1 입력: 2
공차 입력: 3
n 입력: 7
7번째 항의 값: 20

014. 등차수열(파이썬)

- 다음 수열을 보고 n번째 항까지의 합을 출력하는 프로그램을 만들어보자

inputN1 = int(input('a1 입력: '))
inputD= int(input('공차 입력: '))
inputN = int(input('n 입력: '))

valueN = 0
sumN = 0
n = 1 #반복문 돌리기 위해
while n <= inputN:

    if n == 1:
        valueN = inputN1
        sumN = valueN
        print('{}번째 항까지의 값: {}'.format(n, valueN))
        n += 1
        continue

    valueN += inputD
    sumN += valueN
    print('{}번째 항까지의 값: {}'.format(n, sumN))
    n += 1

print('{}번째 항까지의 값: {}'.format(inputN, sumN))

-->
a1 입력: 5
공차 입력: 4
n 입력: 7
1번째 항까지의 값: 5
2번째 항까지의 값: 14
3번째 항까지의 값: 27
4번째 항까지의 값: 44
5번째 항까지의 값: 65
6번째 항까지의 값: 90
7번째 항까지의 값: 119
7번째 항까지의 값: 119

또는

#등차수열(일반항) 공식: an = a1 + (n-1)d
#등차수열(합) 공식: sn = n(a1 + an) / 2
valueN = inputN1 + (inputN-1) * inputD
sumN = inputN * (inputN1 + valueN) / 2 #나눗셈결과는 항상 실수로 나옴
print('{}번째 항까지의 값: {}'.format(inputN, int(sumN)))

-->
a1 입력: 5
공차 입력: 4
n 입력: 7
7번째 항까지의 값: 119