GCN의 전파 규칙 이해하기

목표: GCN의 전파 규칙 $H^{(i+1)} = \sigma(A H^{(i)} W^{(i)})$ 를 이커머스 데이터로 이해하기

💡 핵심 개념:
노드 임베딩은 이웃 노드의 정보를 받아서 업데이트된다.
→ 이를 수학적으로 표현한 것이 전파 규칙(propagation rule)입니다.

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1. 기본 개념: GCN은 어떻게 작동하나?

🔹 GCN의 핵심: Message Passing (메시지 전달)

• 각 노드는 이웃 노드로부터 메시지(정보)를 받음
• 받은 메시지를 통합(Aggregation)하고, 업데이트(Update)하여 새로운 임베딩 생성
• 여러 레이어 반복 → 점점 더 풍부한 표현 학습

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2. 전파 규칙 수식: $H^{(i+1)} = \sigma(A H^{(i)} W^{(i)})$

이 수식은 GCN의 가장 기본적인 전파 규칙입니다.

• $H^{(i)}$: $i$번째 레이어에서의 노드 임베딩 행렬
• $A$: 인접 행렬 (그래프 구조)
• $W^{(i)}$: 학습 가능한 가중치 행렬
• $\sigma$: 활성화 함수 (예: ReLU)

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수식 해석: 각 요소의 의미

기호	설명
$H^{(i)}$	현재 레이어에서의 노드 임베딩 (행렬 형태)
$A$	노드 간 연결 관계 (인접 행렬)
$W^{(i)}$	학습 가능한 가중치 (특징 변환)
$\sigma$	비선형성 추가 (ReLU 등)

💡 직관적 설명:
“이웃 노드의 정보($A H^{(i)}$)를 모아서, 가중치($W^{(i)}$)로 변환하고, 비선형 함수($\sigma$)로 처리 → 새로운 임베딩 생성”

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3. 실제 이커머스 데이터로 적용해보기

입력 데이터: 특성 행렬 $X (= H^{(0)})$ + 인접 행렬 $A$

1) 특성 행렬 $X = H^{(0)}$ — 초기 임베딩 (모두 양수!)

💡 $H^{(0)} = X \in \mathbb{R}^{5 \times 7}$ → 모든 원소 > 0 (0.1을 최소값으로 설정하여 0 방지)

2) 인접 행렬 $A$ — 그래프 구조

노드 순서: [U1, U2, P1, P2, P3]

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GCN 1단계: 전파 규칙 적용 ($H^{(1)} = \sigma(A H^{(0)} W^{(0)})$)

1) $A \times H^{(0)}$ 계산 — 이웃 정보 전달

• H는 각 노드의 특성
• A는 인터렉션 행렬로 둘을 곱해 실제 인터렉션이 있는 노드의 특성이 적용됨.
  • ex) 0번째 노드는 2,3 노드와 관련이 있고 곱으로 인해 2,3행렬의 특징이 적용됨.

✅ Message Passing 효과

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2) $(A H^{(0)}) \times W^{(0)}$ 계산 — 특징 변환 (모두 양수 가중치)

가정: $W^{(0)} \in \mathbb{R}^{7 \times 3}$, 모든 원소 > 0

→ $(A H^{(0)}) W^{(0)} \in \mathbb{R}^{5 \times 3}$ 계산 결과 모든 값 > 0

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3) $\sigma((A H^{(0)}) W^{(0)})$ 계산 — 비선형성 추가

활성화 함수 $\sigma = \text{ReLU}$ (음수는 0으로)

→ 최종 $H^{(1)}$의 모든 원소 양수!

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4. Multi-layer: 2층 GCN 적용

1) $H^{(1)}$을 입력으로 다시 전파 규칙 적용

→ 모든 중간값이 양수이므로, 2층에서도 0이 발생하지 않음

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5. Sum 방식 예시

예시 데이터: 작은 그래프

→ 인접 행렬 $A$:

→ 특성 행렬 $X \in \mathbb{R}^{4 \times 2}$:

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1단계: $A \times X$ 계산 — 이웃 정보 전달

✅ Sum 방식: 이웃 노드의 특성을 단순히 더함

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2단계: $(A X) \times W$ 계산 — 특징 변환

가정: $W = \begin{bmatrix} 0.1 & 0.2 \\ 0.3 & 0.4 \end{bmatrix}$

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3단계: $\sigma((A X) W)$ — 비선형성 추가

$\sigma = \text{ReLU}$ → 모든 값이 양수이므로 그대로 유지

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요약: GCN 전파 규칙 & 이커머스 적용

개념	설명	이커머스 적용 예	수식
Local Connectivity	이웃 노드 정보만 사용	상품의 유사 상품 정보 활용	$A H^{(i)}$
Shared Weights	모든 노드 동일 가중치	다양한 상품에 동일한 규칙 적용	$\times W^{(i)}$
Message Passing	이웃 정보 전달 → 임베딩 업데이트	사용자-상품 관계를 통한 추천	$\sigma(A H^{(i)} W^{(i)})$

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📌 결론

GCN의 전파 규칙 $H^{(i+1)} = \sigma(A H^{(i)} W^{(i)})$ 는 이커머스에서 사용자와 상품 간의 복잡한 관계를 모델링하고, 이를 바탕으로 정확한 추천을 제공하는 핵심 수식입니다.

semi-supervised learning: 라벨이 있는 엣지들만 학습이 된다. -> 학습된 W는 실제 라벨이 없는 엣지들도 추천이 가능하게 된다.