플로이드

solved_ac[Class4][플로이드](https://www.acmicpc.net/problem/11404)

문제

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n(2 ≤ n ≤ 100)개의 도시가 있다. 그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 m(1 ≤ m ≤ 100,000)개의 버스가 있다. 각 버스는 한 번 사용할 때 필요한 비용이 있다.

모든 도시의 쌍 (A, B)에 대해서 도시 A에서 B로 가는데 필요한 비용의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

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첫째 줄에 도시의 개수 n이 주어지고 둘째 줄에는 버스의 개수 m이 주어진다. 그리고 셋째 줄부터 m+2줄까지 다음과 같은 버스의 정보가 주어진다. 먼저 처음에는 그 버스의 출발 도시의 번호가 주어진다. 버스의 정보는 버스의 시작 도시 a, 도착 도시 b, 한 번 타는데 필요한 비용 c로 이루어져 있다. 시작 도시와 도착 도시가 같은 경우는 없다. 비용은 100,000보다 작거나 같은 자연수이다.

시작 도시와 도착 도시를 연결하는 노선은 하나가 아닐 수 있다.

출력

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n개의 줄을 출력해야 한다. i번째 줄에 출력하는 j번째 숫자는 도시 i에서 j로 가는데 필요한 최소 비용이다. 만약, i에서 j로 갈 수 없는 경우에는 그 자리에 0을 출력한다.

예제 입력 1

5
14
1 2 2
1 3 3
1 4 1
1 5 10
2 4 2
3 4 1
3 5 1
4 5 3
3 5 10
3 1 8
1 4 2
5 1 7
3 4 2
5 2 4

예제 출력 1

0 2 3 1 4
12 0 15 2 5
8 5 0 1 1
10 7 13 0 3
7 4 10 6 0

📖 알고리즘

[플로이드 와샬 알고리즘은 Weight가 있는 그래프에서 모든 노드에서 모든 노드로 가는 최소 비용을 구할 때 사용한다.]

플로이드 와샬 알고리즘 동작 설명

• "거쳐가는 정점"을 기준으로 알고리즘을 수행한다.
• DP를 기반으로 한다.
• 2차원 배열을 사용한다.
• O(N^3)

아래 포스팅은 동빈나님의 블로그를 참고하였습니다.

가중치가 있는 그래프가 위와 같이 주어져 있다고 하자. 우리는 여기서 모든 노드로부터 모든 노드로까지의 최소 비용을 구하려고 한다.

최초 그래프

"출발 노드 ➡️ 목적 노드" 가중치를 2차원 배열로 나타내면 위와 같이 나타낼 수 있다.

우리는 반복문을 통하여 이 2차원 배열을 계속하여 갱신시켜 나갈 것이다.

이 때 포인트는 "노드"를 기준으로 갱신한다는 점이다.

노드 1

• 자기 자신
• 노드 1에서 출발하는 경우
• 노드 1로 도착하는 경우

위 3가지를 제외하고 갱신한다. 위의 3가지는 왜 제외시키냐고 의문이 들 수 있는데 잘 생각해보길 바란다.

(출발 노드 ➡️ 목적 노드) VS (출발 노드 ➡️ 노드 1 ➡️ 목적노드)

둘을 비교하여 최소 비용으로 갱신한다. 나머지 노드 2,3,4도 마찬가지의 방법으로 진행한다.

노드 2

노드 3

노드 4

최종 그래프

이렇게 하여 우리는 최종적인 최소 비용 배열을 얻어내었다.

👨🏻‍💻 CODE

cities = int(input())
buses = int(input())
INF = int(1e9)
graph = [[INF]*(cities+1) for _ in range(cities+1)]


for i in range(buses):
    start, end, cost = map(int,input().split())

    # 같은 경로의 버스가 여러 개 존재할 수 있다는 사실을 주의 !!
    if graph[start][end] != INF:
        graph[start][end] = min(graph[start][end], cost)
    else:
        graph[start][end] = cost

for i in range(cities+1):
    graph[i][i] = 0

# 플로이드 와샬 알고리즘
for i in range(cities+1):
    for j in range(cities+1):
        for k in range(cities+1):
            if graph[j][k] > graph[j][i] + graph[i][k]:
                graph[j][k] = graph[j][i] + graph[i][k]



# 정답 출력
for i in range(1,cities+1):
    for j in range(1,cities+1):
        if graph[i][j] == INF:
            print(0, end=" ")
        else:
            print(graph[i][j], end=" ")
    print()

코드 구현에서 다음을 주의해야한다.

• 같은 경로로 가는 버스가 여러 대 존재할 수 있다.
• 비용이 무한대면 0으로 표시하라.