우도(Likelihood)란?

1. 핵심 개념:

우도 = 어떤 모델(혹은 파라미터)이 주어진 데이터를 얼마나 그럴듯하게 설명하는가?

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2. 비교: 확률 vs 우도

개념	설명	수학 표현	고정된 것	변하는 것
확률	모델이 주어졌을 때, 특정 데이터가 나올 확률	$p(x \mid \theta)$	파라미터 $\theta$	데이터 $x$
우도	특정 데이터가 주어졌을 때, 어떤 모델(파라미터)이 그 데이터를 잘 설명하는지	$\mathcal{L}(\theta \mid x) = p(x \mid \theta)$	데이터 $x$	파라미터 $\theta$

수식은 똑같이 $p(x \mid \theta)$처럼 생겼지만, 해석이 다릅니다!

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3. 예시로 이해해보기

3.1. 예: 동전을 10번 던졌는데, 7번 앞면이 나왔다고 하자.

• 데이터 $x = 7$ (앞면 나온 횟수)
• 우리는 동전이 공정한지 아닌지 알고 싶어요.

3.2. 여러 동전 모델을 가정해보자:

• $\theta = 0.5$: 공정한 동전
• $\theta = 0.7$: 앞면이 더 잘 나오는 동전
• $\theta = 0.2$: 뒷면이 더 잘 나오는 동전

3.3. 각 모델이 위 데이터를 얼마나 잘 설명하나요?

우도를 계산해보면:

$\mathcal{L}(\theta = 0.5 \mid x = 7) = P(7 \text{번 앞면} \mid \theta = 0.5)$
$\mathcal{L}(\theta = 0.7 \mid x = 7) = P(7 \text{번 앞면} \mid \theta = 0.7)$
$\mathcal{L}(\theta = 0.2 \mid x = 7) = P(7 \text{번 앞면} \mid \theta = 0.2)$

→ 계산해보면

• $\theta = 0.7$이 가장 높은 값을 가짐
  → 즉, 이 모델이 가장 그럴듯하다(우도가 크다)는 의미!

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4. 실전에서는?

• 우리가 가지고 있는 데이터 $x$에 대해,
• 우도 $\mathcal{L}(\theta \mid x)$를 최대화하는 파라미터 $\theta$를 찾는 것
• 이걸 최대우도추정(MLE)이라고 합니다!

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5. VAE에서의 우도?

VAE 손실함수에서 중요한 부분이 이거예요:

$\mathbb{E}_{q(z \mid x)}[\log p(x \mid z)]$

• 여기서 $p(x \mid z)$가 바로 우도입니다.
• 즉, "잠재 벡터 z로부터 관측된 x를 얼마나 잘 복원하는가"
• 이걸 평균적으로 최대화하는 게 목적이에요!

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6. 요약

질문	설명
우도란?	“모델이 데이터를 얼마나 잘 설명하는가”를 수치화한 것
수식으로는?	$\mathcal{L}(\theta \mid x) = p(x \mid \theta)$
확률과 차이점?	확률은 모델 고정, 우도는 데이터 고정
VAE에서?	$p(x \mid z)$가 x의 우도 → reconstruction loss에 해당