[알고리즘 개념] BFS- 가중치 그래프에서의 최단 경로

BFS에서 응용하는 가중치 그래프에서의 최단 경로를 구하는 방법에는 3가지가 있다.

다익스트라 (1->N, 음수 X)

• 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산
• 특히 음의 간선이 없을 때 정상적으로 작동
• 그리디 알고리즘으로 분류

1. 출발 노드를 설정
2. 최단 거리 테이블을 초기화
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신
5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복

이때 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하므로 전체 시간 복잡도는 O(V2)이다.
하지만 노드의 개수가 10000개가 넘어가면 시간초과가 발생할 수 있다.
따라서 우선순위 큐(최소 힙)를 이용해서 최단거리를 구한다. 시간 복잡도 : O(ElogV)

#다익스트라 알고리즘(개선 후) - 최소 힙 사용
import heapq
from sys import stdin as s
s=open("input.txt","rt")

INF = int(1e9)

n,m = map(int, s.readline().split())
start= int(s.readline())
graph = [[] for i in range(n+1)]
distance = [INF] *(n-1)

for _ in range(m):
    a,b,c = map(int, s.readline().split())
    #a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b,c))

def dijkstra(start):
    q=[]
    heapq.heappush(q,(0,start))
    distance[start]=0
    while q:
        dist,now = heapq.heappop(q)
        if distance[now] < dist: #현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
            continue
        for i in graph[now]:
            cost= dist + i[1]
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q,(cost,i[0]))
                
dijkstra(start)

for i in range(1,n+1):
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])

🙄 우선순위 큐

• 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제할 수 있는 자료구조
  

🙄 힙(Heap)

• 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조
• 최소 힙(Min Heap)과 최대 힙(Max Heap)이 있다.
  

• 최소 힙(Min Heap)

import heapq

# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        result.append(heapq.heappop(h))
    return result


result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)
#result : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

• 최대 힙(Max Heap)

import heapq

# 내림차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, -value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        result.append(-heapq.heappop(h))
    return result


result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)
#9,8,7,6,5,4,3,2,1,0

처음에 음수로 정렬한뒤 음수를 뺀 값을 출력해준다.

벨만 포드 (1->N, 음수 O)

• 특정 정점에서 나머지 정점으로의 최단경로를 구함
• 가중치에 음의 간선이 있어도 사용가능
• 모든 경우를 다 탐색하는 방식 -> 시간 복잡도 O(n3)

1. 출발 노드를 설정
2. 최단 거리 테이블을 초기화
3. 다음의 과정을 N-1번 반복
   3-1. 전체 간선 E개를 하나씩 확인
   3-2. 각 간선을 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신

def bellmanford(V, K, graph, dist):
    dist[K] = 0
    minusCycle = False

    for i in range(V):   # 정점 수 만큼 반복
        for j in graph[i]:      # 모든 간선 확인
            cost = j[1]
            if dist[j[0]] > dist[i] + cost:
                dist[j[0]] = dist[i] + cost
                if i == V - 1:  # (V-1)번 이후에도 갱신되면 음수 사이클
                    minusCycle = True
     
    return dist[1:] if minusCycle is False else "음수 사이클"

플로이드 와샬 (N->N)

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산
• 다이나믹 프로그래밍 유형에 속함
• 점화식을 이용함
  

#n의 갯수가 많을 수록 불리 -> 시간 복잡도 o(n3)

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

#노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n=int(input())
m=int(input())
graph = [[INF]*(n+1) for _ in range(n+1)]

for a in range(1,n+1):
    for b in range(1,n+1):
        if a==b:
            graph[a][b]=0
            
# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    a,b,c= map(int, input().split())
    graph[a][b]=c
    
for k in range(1,n+1):
    for a in range(1,n+1):
        for b in range(1,n+1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b],graph[a][k]+graph[k][b])
            
for a in range(1,n+1):
    for b in range(1,n+1):
        if graph[a][b]==INF:
            print("INFINTY",end =" ")
        else:
            print(graph[a][b],end= " ")
            
    print()

Ref)
https://velog.io/@juwon9733/%EC%B5%9C%EB%8B%A8-%EA%B2%BD%EB%A1%9C-%EC%95%8C%EA%B3%A0%EB%A6%AC%EC%A6%98
https://velog.io/@1998yuki0331/Python-%EA%B0%80%EC%A4%91%EC%B9%98-%EA%B7%B8%EB%9E%98%ED%94%84%EC%97%90%EC%84%9C%EC%9D%98-%EC%B5%9C%EB%8B%A8-%EA%B2%BD%EB%A1%9C
이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 WITH 파이썬 편
https://heytech.tistory.com/67