2021년 8월 24일에 작성된 문서 1번 입니다.
자료 구조 배운 내용을 정리했습니다.

Time Complexity

효율적인 방법을 고민한다는 것 = 시간 복잡도를 고민한다는 것

시간 복잡도

시간 복잡도 : 입력값의 변화에 따라 연산을 실행할 때, 연산 횟수에 비해 시간이 얼마만큼 걸리는가?

• 효율적인 알고리즘을 구현한다는 것 = 입력값이 커짐에 따라 증가하는 시간의 비율을 최소화한 알고리즘
• 시간 복잡도는 주로 빅-오 표기법을 사용해 나타낸다.

Big-O 표기법

Big-O 표기법은 입력값의 변화에 따라 연산을 실행할 때, 연산 횟수에 비해 시간이 얼마만큼 걸리는가?를 표기하는 방법입니다.

시간 복잡도를 표기하는 방법

• Big-O (빅-오)
• Big-Ω (빅-오메가)
• Big-θ (빅-세타)

• 위 세 가지 표기법은 시간 복잡도를 각각 최악, 최선, 중간(평균)의 경우에 대하여 나타내는 방법.
• 이 중 Big-O 표기법이 가장 자주 사용.
  빅오 표기법은 최악의 경우를 고려
  "이 정도 시간까지 걸릴 수 있다" 를 고려

Big-O 표기.1 : O(1)

constant complexity

• constant complexity
• 입력값이 증가하더라도 시간이 늘어나지 않는다.
  * 입력값의 크기와 관계없이, 즉시 출력값을 얻어낼 수 있다.

//O(1)의 시간 복잡도를 가진 알고리즘

function O_1_algorithm(arr, index) {
	return arr[index];
}

let arr = [1, 2, 3, 4, 5];
let index = 1;
let result = O_1_algorithm(arr, index);
console.log(result); // 2

• 입력값의 크기가 아무리 커져도 즉시 출력값을 얻어낼 수 있다.
  * 예) arr의 길이가 100만이라도, 즉시 해당 index에 접근해 값을 반환할 수 있다.

O(n)

linear complexity

• linear complexity
• 입력값이 증가함에 따라 시간 또한 같은 비율로 증가하는 것을 의미.

입력값이 1일 때 1초의 시간이 걸리고, 입력값을 100배로 증가시켰을 때 1초의 100배인 100초가 걸리는 알고리즘을 구현했다면, 그 알고리즘은 O(n)의 시간 복잡도를 가진다고 할 수 있습니다.

// O(n)의 시간 복잡도를 가진 알고리즘

function O_n_algorithm(n) {
	for (let i = 0; i < n; i++) {
	// do something for 1 second
	}
} 
// 입력값(n)이 1 증가할 때마다 코드의 실행 시간이 1초씩 증가
// 입력값이 증가함에 따라 같은 비율로 걸리는 시간이 늘어나고 있다.


function another_O_n_algorithm(n) {
	for (let i = 0; i < 2n; i++) {
	// do something for 1 second
	}
}
// 같은 비율로 증가하고 있다면 
// 2배가 아닌 5배, 10배로 증가하더라도 O(n)으로 표기

O(log n)

logarithmic complexity

• logarithmic complexity
• Big-O표기법중 O(1) 다음으로 빠른 시간 복잡도

자료구조에서 배웠던 BST(Binary Search Tree)를 기억하시나요? BST에선 원하는 값을 탐색할 때, 노드를 이동할 때마다 경우의 수가 절반으로 줄어듭니다. 이해하기 쉬운 게임으로 비유해 보자면 up & down을 예로 들 수 있습니다.

1. 1~100 중 하나의 숫자를 플레이어1이 고른다 (30을 골랐다고 가정합니다).
2. 50(가운데) 숫자를 제시하면 50보다 작으므로 down을 외친다.
3. 1~50중의 하나의 숫자이므로 또다시 경우의 수를 절반으로 줄이기 위해 25를 제시한다.
4. 25보다 크므로 up을 외친다.
5. 경우의 수를 계속 절반으로 줄여나가며 정답을 찾는다.

• 매번 숫자를 제시할 때마다 경우의 수가 절반이 줄어들기 때문에 최악의 경우에도 7번이면 원하는 숫자를 찾아낼 수 있게 된다.
• BST의 값 탐색도 같은 로직으로 O(log n)의 시간 복잡도를 가진 알고리즘

O(n2)

quadratic complexity

• quadratic complexity
• 입력값이 증가함에 따라 시간이 n의 제곱수의 비율로 증가하는 것을 의미.

예를 들어 입력값이 1일 경우 1초가 걸리던 알고리즘에 5라는 값을 주었더니 25초가 걸리게 된다면, 이 알고리즘의 시간 복잡도는 O(n2)라고 표현합니다.

//O(n2)의 시간 복잡도를 가진 알고리즘

function O_quadratic_algorithm(n) {
	for (let i = 0; i < n; i++) {
		for (let j = 0; j < n; j++) {
		// do something for 1 second
		}
	}
}

function another_O_quadratic_algorithm(n) {
	for (let i = 0; i < n; i++) {
		for (let j = 0; j < n; j++) {
			for (let k = 0; k < n; k++) {
			// do something for 1 second
			}
		}
	}
}

• 2n, 5n 을 모두 O(n)이라고 표현하는 것처럼, n3과 n5 도 모두 O(n2)로 표기.

O(n^2)

exponential complexity

• exponential complexity
• Big-O 표기법 중 가장 느린 시간 복잡도

종이를 42번 접으면 그 두께가 지구에서 달까지의 거리보다 커진다는 이야기를 들어보신 적 있으신가요? 고작 42번 만에 얇은 종이가 그만한 두께를 가질 수 있는 것은, 매번 접힐 때마다 두께가 2배로 늘어나기 때문입니다. 구현한 알고리즘의 시간 복잡도가 O(2n)이라면 다른 접근 방식을 고민해 보는 것이 좋습니다.

//O(2n)의 시간 복잡도를 가지는 알고리즘

function fibonacci(n) {
	if (n <= 1) {
		return 1;
	}
	return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

• 재귀로 구현하는 피보나치 수열은 O(2n)의 시간 복잡도를 가진 대표적인 알고리즘
• 브라우저 개발자 창에서 n을 40으로 두어도 수초가 걸리는 것을 확인 가능.
• n이 100 이상이면 평생 결과를 반환받지 못할 수도 있다.

대략적인 데이터 크기에 따른 시간 복잡도

데이터 크기 제한	예상되는시간 복잡도
n ≤ 1,000,000	O(n) or O (logn)
n ≤ 10,000	O(n2)
n ≤ 500	O(n3)

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