문제 설명

좌표평면을 좋아하는 진수는 x축과 y축이 직교하는 2차원 좌표평면에 점을 찍으면서 놀고 있습니다. 진수는 두 양의 정수 k, d가 주어질 때 다음과 같이 점을 찍으려 합니다.

• 원점(0, 0)으로부터 x축 방향으로 ak(a = 0, 1, 2, 3 ...), y축 방향으로 bk(b = 0, 1, 2, 3 ...)만큼 떨어진 위치에 점을 찍습니다.
• 원점과 거리가 d를 넘는 위치에는 점을 찍지 않습니다.

예를 들어, k가 2, d가 4인 경우에는 (0, 0), (0, 2), (0, 4), (2, 0), (2, 2), (4, 0) 위치에 점을 찍어 총 6개의 점을 찍습니다.

정수 k와 원점과의 거리를 나타내는 정수 d가 주어졌을 때, 점이 총 몇 개 찍히는지 return 하는 solution 함수를 완성하세요.

제한 사항

• 1 ≤ k ≤ 1,000,000
• 1 ≤ d ≤ 1,000,000

입출력 예시

k	d	result
2	4	6
1	5	26

문제 풀이

• for문으로 문제를 풀 때, 최악의 케이스는 k=1, d=1,000,000 인 경우이다.
  이러한 경우에는 for문을 2중 이상으로 중첩할 경우 백만제곱 이상의 케이스를 계산해야한다.
  고로 for문은 최대 1단으로만 사용한다.

• 피타고라스 공식을 변형하여, 수학적으로 문제에 접근할 수 있을 것 같다.
  A^2 + B^2 = C^2에서 C를 d(최대 거리)라고 가정할 경우, 축 위의 한 점의 정보가 주어지면, 다른 축에서의 최대 좌표를 계산 할 수 있다.

  공식 유도
  A^2 + B^2 <= d^2
  -> B^2 <= d^2 - A^2
  -> B <= root(d^2 - A^2) * 음수인 경우는 조건에 없기 때문에 가정하지 않는다.

• 위에서 유도한 공식을 문제에 적용시킨다.

  1. for문을 사용하여 x축을 기준으로, 각 x좌표에 대한 최고 y좌표를 계산한다.
  2. 이때, y좌표는 k배수의 값만 가질 수 있다.
  3. 따라서 해당 x좌표에서 가능한 y좌표의 개수는 최고 y좌표를 k로 나눈 몫의 값 이다.
  4. 이렇게 구한 (x,y)쌍의 개수를 answer에 추가하며 for문을 반복한다.

파이썬 코드

def solution(k, d):
    answer = 0
    for xpos in range(0, d+1, k):
        answer += ((d**2 - xpos**2)**(1/2))//k + 1
    return answer

실행 결과