1. 고전적 확률

어떤 사건이 일어날 가능성의 정도를 0에서 1 사이의 수치로 표현한 것을 확률(Probability)이라고 한다. 하지만 구체적으로 어떤 방식으로 사건에 확률을 부여할 것인지는 여러가지로 나뉜다. 가장 처음 정의된 방식이자 고교과정에서 가르치고 있는 고전적 확률에 대해 먼저 알아보자.

고전적 확률(Classical Probability): 표본공간의 모든 근원사건이 같은 가능성으로 일어난다는 균등 확률모형(Uniform Probability Model)의 가정 하에 정의한 확률을 고전적 확률 또는 수학적 확률이라고 한다.

2. 유한 표본공간에서의 균등 확률모형

확률을 처음으로 정의한 사람은 프랑스의 수학자 피에르시몽 라플라스(Pierre-Simon Laplace, 1749~1827)이다. 라플라스는 유한 표본공간과 균등 확률모형을 가정한 확률을 제시했다.

유한 표본공간에서의 균등 확률모형: m개의 원소로 이루어진 유한 표본공간 $Ω$에서 모든 원소가 같은 가능성으로 일어난다고 기대할 때, k개의 원소로 이루어진 사건 $A$가 일어날 확률을 다음의 비율로 정의한다.

$\displaystyle\frac{n(A)}{n(Ω)}=\frac{k}{m}$ (단, $n(\cdot)$는 집합의 원소 개수를 나타낸다.)

• 결국 유한 표본공간에서의 균등 확률모형에서 확률을 구하는 것은 표본공간과 사건의 경우의 수를 계산하는 것이다. 여기서 순열과 조합 등 조합론의 방법이 사용된다.

• 하지만 현실세계에서 균등 확률모형의 적용은 한정적이라는 점과, 시간과 같은 연속 표본공간의 경우 적용이 불가능하다는 점과 같은 한계가 있다.

3. 연속 표본공간에서의 균등 확률모형

균등 확률모형의 가정 하에 연속 표본공간, 즉 표본공간이 직선이나 평면 또는 다차원 공간에서의 유계인 연속집합으로 표현되는 경우, 기하학적인 방법으로 확률을 정의할 수 있다.

연속 표본공간에서의 균등 확률모형: 연속 표본공간 $Ω$의 각 점에서 확률이 균등하게 분포한다고 가정할 때, 사건 $A$가 일어날 확률을 다음의 비율로 정의한다.

$\displaystyle\frac{|A|}{|Ω|}$ (단, $|⋅|$는 길이, 넓이 또는 부피 등을 나타낸다.)

• 하지만 반대로 유한 표본공간의 경우 적용이 불가능하다는 한계가 있다.

• 또한 균등 확률모형의 한계가 여전히 남아있으며, 이 한계를 지적한 문제가 바로 베르트랑의 역설이다.

베르트랑의 역설(Bertrand's paradox): '임의로'의 의미를 명확하게 정의하지 않을 때 생기는 문제를 연속 표본공간에서의 균등 확률모형을 통해 보여준 문제.

"한 원에서 임의로 현을 그릴 때, 현의 길이가 그 원에 내접하는 정삼각형의 한 변의 길이보다 클 확률을 구하라."

• 접근하는 방법에 따라 문제의 답이 1/2, 1/3, 1/4로 갈린다. 이는 '임의로'의 의미를 명확하게 정의하지 않아서 생기는 역설이다.

• 베르트랑의 역설로 고전적 확률은 인기를 잃게 되고, 공리적 확률이 등장하게 된다.

References
1. 김진경, 확률론 강의