3장 함수

잠정적인 정의로 먼저 함수를 살펴봅시다.

PROVISIONAL DEFINITION
A function is a rule which assigns, to each of certain real numbers, some other real number.

함수는 각각의 어떤 실수에 다른 실수를 할당하는 규칙입니다. 이와 같은 예시를 몇가지 살펴봅시다.

예1) 어떤 수에 그 수의 제곱을 할당
예2) 무리수인 수에는 0을, 유리수인 수에는 1을 할당

위와 같이 함수란 대수적인 공식으로만 표현되는 것이 아닙니다. 예2와 같은 표현으로도 수와 수 사이의 규칙을 지정한다면 마찬가지로 함수가 되는 것입니다.

그렇다면 만약 $f(x)=x^2와\ f(x)=x^2+3x+3-3(x+1)$는 다른 규칙일까요?

이와같은 혼동을 피하기 위해 엄밀한 정의를 합니다. 정의는 규칙이 무엇인가?나 수와 수 간의 관계가 무엇인가?가 아닌 함수의 모든 것을 알기위해서 무엇을 알아야하는가? 입니다.
이 질문에 대해 좀 더 생각해 보자면, 각각의 숫자 $x$에 대해 $f(x)$가 무엇이냐에 대한 것입니다.

$f(x)=x^2$라는 함수에서 순서쌍 $(1,1), (-1,1), (2,4), (-2,4), (\pi,\pi^2), (\sqrt{2},2)$을 고려해봅시다. $f(1)$을 찾기 위해서는 단순하게 순서쌍 중에서 첫 번째 숫자가 1인 것을 찾으면 됩니다. 이렇게만 생각하면 함수란 순서쌍의 집합으로 잘 정의되는 것처럼 느껴집니다. 예를들어, $f=\{(1,7), (3,7), (5,3), (4,8), (8,4)\}$ 라는 순서쌍 집합이 있다면,
$f(1) =7, f(3)=7, f(5)=3, f(4)=8, f(8)=4$이기에 $1, 3, 5, 4, 8$은 $f$의 정의역에 존재하는 유일한 숫자입니다.
하지만 $f=\{(1,7), (3,7), (2,5), (1,8), (8,4)\}$ 라는 순서쌍 집합을 생각해보면, $f(3)=7, f(2)=5, f(8)=4$이므로 $3,5,8$은 정의역의 유일한 숫자이지만, $f(1)=7,\ f(1)=8$이기때문에 $1$은 유일한 숫자도 아니고 그 결과가 둘 중 어떤 것인지 모호합니다. 이와같은 경우를 피하기 위해 우리는 함수를 다음과 같이 엄밀히 정의합니다.

DEFINITION
A function is a collection of pairs of numbers withe the following property: if $(a,b)$ and $(a,c)$ are both in the collection, then $b=c;$ in other words, the collection must no contain two different pairs with the same first element.

정의) 함수란 순서쌍의 첫번째 수가 2개 이상이 아닌 순서쌍의 집합을 말합니다.

함수를 더 엄밀히 정의하기 위해 하나의 정의가 더 필요합니다.

DEFINITION
if $f$ is a function, the domain of $f$ is the set of all $a$ for which there is some $b$ such that $(a,b)$ is in $f$. If $a$ is in the domain of $f$, it follows form the definition of a function that there is, in fact, a $unique$ number $b$ such that $(a,b)$ is in $f$. This unique $b$ is denoted by $f(a)$.

정의) $f$가 함수라면, f의 순서쌍 $(a,b)$의 모든 $a$를 원소에 대한 집합을 정의역이라고 합니다. $a$가 정의역의 원소이면, 유일한 $b$에 대해 $(a,b)$가 $f$의 원소이며, 이 유일한 $b$를 $f(a)$라 합니다.

이 두가지 정의로 앞서 던진 물음에 대한 답을 찾았습니다. 함수를 알기 위해 중요한 것은, 숫자 $f(x)$는 정의역에 있는 각각의 $x$에 의해 결정된다는 것입니다.