시계열 분석 기본

⏰ 시계열 분석

📈 ETS 모델

ETS 모델은 시계열 데이터를 분석할 때 사용되는 방법으로, 추세(Trend), 계절성(Seasonality), 오차(Error)를 고려하여 데이터를 예측합니다. 이 모델은 데이터의 패턴을 이해하고 미래의 값을 예측하는 데 유용합니다.

📊 지수 가중 이동 평균 (Exponentially Weighted Moving Average - EWMA)

💡 개념 (Concept)

지수 가중 이동 평균(EWMA)은 단순 이동 평균(SMA)의 단점을 보완하기 위해 개발된 방법입니다. SMA는 모든 과거 데이터를 동일한 가중치로 평균하지만, EWMA는 최신 데이터에 더 높은 가중치를 부여하고 과거 데이터일수록 가중치를 지수적으로 감소시킵니다. 이를 통해 최신 데이터의 변화에 민감하게 반응하면서도 전체적인 추세를 부드럽게 표현할 수 있습니다.

• $Y_t$: 시간 $t$의 실제 값
• $EWMA_{t-1}$: 이전 시점의 EWMA 값
• $\alpha$: 평활 계수(Smoothing Parameter). 0과 1 사이의 값을 가지며, $\alpha$가 클수록 최신 데이터에 더 많은 가중치를 부여합니다.

pandas에서는 span이라는 파라미터를 통해 $\alpha$를 간접적으로 설정할 수 있습니다 ($\alpha = 2 / (span + 1)$). span은 대략 SMA의 윈도우 크기와 유사한 의미를 가집니다.

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🔮 홀트-윈터스 기법을 이용한 예측 (Forecasting with Holt-Winters)

💡 개념 (Concept)

홀트-윈터스(Holt-Winters) 기법은 EWMA를 확장하여 추세(Trend)와 계절성(Seasonality)을 명시적으로 모델링하고 예측하는 강력한 시계열 분석 방법입니다. 삼중 지수 평활(Triple Exponential Smoothing) 이라고도 불립니다.

• 단순 지수 평활 (Simple): 수준(Level)만 고려합니다. 추세나 계절성이 없는 데이터에 적합합니다.
• 이중 지수 평활 (Double / Holt's Method): 수준과 추세를 함께 고려합니다. 추세는 있지만 계절성은 없는 데이터에 적합합니다.
• 삼중 지수 평활 (Triple / Holt-Winters Method): 수준, 추세, 계절성을 모두 고려합니다. 가장 복잡하고 많은 시계열 데이터에 적용할 수 있습니다.

각 요소(추세, 계절성)가 시간에 따라 어떻게 변하는지에 따라 가법(Additive) 모델과 승법(Multiplicative) 모델로 나뉩니다.

• trend='add': 추세가 시간에 따라 일정하게 증가/감소할 때.
• trend='mul': 추세가 시간에 따라 지수적으로(비율로) 증가/감소할 때.
• seasonal='add': 계절성의 변동폭이 데이터의 크기와 무관하게 일정할 때.
• seasonal='mul': 계절성의 변동폭이 데이터의 크기에 비례하여 변할 때.

📊 시계열 분석: ACF와 PACF의 이해

시계열 분석에서 ACF (Autocorrelation Function, 자기상관함수)와 PACF (Partial Autocorrelation Function, 편자기상관함수)는 시계열 데이터의 구조를 파악하고, 적절한 ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average) 모델의 차수를 결정하는 데 매우 중요한 도구입니다. 이 둘은 모두 시계열 데이터의 과거 값이 현재 값에 미치는 영향을 측정하지만, 그 방식에서 중요한 차이가 있습니다.

ACF (자기상관함수, AutoCorrelation Function)

• 정의: 시계열 데이터의 현재 관측치 $Y_t$와 특정 시차 $k$를 가진 과거 관측치 $Y_{t-k}$ 사이의 선형 상관관계를 측정합니다. 이때, $Y_t$와 $Y_{t-k}$ 사이에 있는 모든 관측치들 $(Y_{t-1}, Y_{t-2}, \ldots, Y_{t-k+1})$의 직접적 및 간접적인 영향을 모두 포함하여 계산합니다.

• 측정 대상: $Y_t$와 $Y_{t-k}$ 간의 총체적인 상관관계 (direct + indirect)

• 측정 대상: $Y_t$와 Y_{t-k}$ 간의 총체적인 상관관계 (direct + indirect)

• 주요 특징:

  • 정상성 판단: 정상 시계열의 ACF는 시차가 증가함에 따라 빠르게 0으로 수렴하는 경향을 보입니다. 비정상 시계열(추세나 계절성을 포함)의 ACF는 느리게 감소하거나 특정 주기마다 큰 값을 나타냅니다.
  • MA (이동평균) 모델 차수 결정: MA(q) 모델의 경우, ACF는 q 시차 이후에는 갑자기 0에 가까워지는 '절단(cut-off)' 패턴을 보입니다. 즉, q 시차까지는 유의미한 상관관계를 보이다가 q+1 시차부터는 급격히 사라집니다.
  • 계절성 탐지: 계절성이 있는 시계열의 경우, 계절 주기에 해당하는 시차(예: 일별 데이터의 주 단위 시차 7, 월별 데이터의 연 단위 시차 12)에서 유의미한 스파이크(막대)가 나타납니다.

PACF (편자기상관함수, Partial Autocorrelation Function)

정의: 시계열 데이터의 현재 관측치 $Y_t$와 특정 시차 $k$를 가진 과거 관측치 $Y_{t-k}$ 사이의 직접적인 선형 상관관계를 측정합니다. 이때, $Y_t$와 $Y_{t-k}$ 사이에 있는 모든 관측치들 $ (Y{t-1}, Y{t-2}, \ldots, Y_{t-k+1}) $의 영향을 제거하고 순수한 상관관계만을 계산합니다. 마치 다중 회귀 분석에서 다른 변수들의 영향을 통제하는 것과 유사합니다.

• 측정 대상: $Y_t$와 $Y_{t-k}$ 간의 순수한 (직접적인) 상관관계
• 주요 특징:
  • 정상성 판단: ACF와 마찬가지로 정상성 판단에 사용될 수 있으나, 주로 ACF와 함께 보조적으로 사용됩니다.
  • AR (자기회귀) 모델 차수 결정: AR(p) 모델의 경우, PACF는 p 시차 이후에는 갑자기 0에 가까워지는 '절단(cut-off)' 패턴을 보입니다. 즉, p 시차까지는 유의미한 상관관계를 보이다가 p+1 시차부터는 급격히 사라집니다.
  • 계절성 탐지: 계절성 시계열의 경우, 계절 주기에 해당하는 시차에서 유의미한 스파이크가 나타날 수 있습니다.

ACF와 PACF의 비교 및 활용 (ARIMA 모델 차수 결정)

	ACF (자기상관함수)	PACF (편자기상관함수)
측정 관계	$Y_t$와 $Y_{t-k}$ 간의 모든 직간접적 상관관계	$Y_t$와 $Y_{t-k}$ 간의 순수한 (직접적) 상관관계
주요 용도	- MA 모델(q) 차수 결정 - 시계열의 정상성 및 계절성 파악	- AR 모델(p) 차수 결정 - 시계열의 정상성 및 계절성 파악
패턴 (AR 모델)	시차가 증가함에 따라 점진적으로 감소하거나 사인파 형태를 띰	p 시차 이후 급격히 0으로 절단됨 (유의미한 스파이크가 p개)
패턴 (MA 모델)	q 시차 이후 급격히 0으로 절단됨 (유의미한 스파이크가 q개)	시차가 증가함에 따라 점진적으로 감소하거나 사인파 형태를 띰

해석 예시

• AR(p) 모델:
  • ACF: 시차가 증가함에 따라 지수적으로 감소하거나 사인파 형태로 나타납니다.
  • PACF: p 시차에서 '절단' 패턴을 보이며, p 시차 이후에는 0에 가깝게 나타납니다. (즉, p번째 막대까지만 유의미)
• MA(q) 모델:
  • ACF: q 시차에서 '절단' 패턴을 보이며, q 시차 이후에는 0에 가깝게 나타납니다. (즉, q번째 막대까지만 유의미)
  • PACF: 시차가 증가함에 따라 지수적으로 감소하거나 사인파 형태로 나타납니다.
• ARMA(p, q) 모델:
  • ACF와 PACF 모두 시차가 증가함에 따라 점진적으로 감소하는 패턴을 보이는 경우가 많습니다. 이 경우, 최적의 p와 q를 찾기 위해 추가적인 모델 진단 (예: AIC, BIC)이 필요할 수 있습니다.

ACF와 PACF 플롯을 해석할 때는 각 막대가 파란색 신뢰구간을 벗어나는지 여부를 통해 유의미한 자기 상관이 존재하는지 판단합니다. 이 두 함수는 시계열 데이터의 복잡한 시간 의존성을 시각적으로 파악하고, 예측 모델을 설계하는 데 있어 가장 기본적이고 강력한 도구입니다.

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