다양한 그래프 알고리즘 (4)

팀 결성

문제 설명 :
학교에서 학생들에게 0번부터 N번까지의 번호를 부여했다. 처음에는 모든 학생이 서로 다른 팀으로 구분되어, 총 N + 1 개의 팀이 존재한다. 이때 선생님은 '팀 합치기'연산과 '같은 팀 여부 확인'연산을 사용할 수 있다.

1. '팀 합치기' 연산은 두 팀을 합치는 연산이다.
2. '같은 팀 여부 확인' 연산은 특정한 두 학생이 같은 팀에 속하는지를 확인하는 연산이다.

선생님이 M개의 연산을 수행할 수 있을 때, '같은 팀 여부 확인'연산에 대한 연산 결과를 출력하는 프로그램을 작성하시오.

입력 조건 :
첫째 줄에 N, M이 주어진다. M은 입력으로 주어지는 연산의 개수이다. (1 <= N, M <= 100,000)
다음 M개의 줄에는 각각의 연산이 주어진다.
'팀 합치기' 연산은 0 a b 형태로 주어진다. 이는 a번 학생이 속한 팀과 b번 학생이 속한 팀을 합친다는 의미이다.
'같은 팀 여부 확인' 연산은 1 a b 형태로 주어진다. 이는 a번 학생과 b번 학생이 같은 팀에 속해 있는지를 확인하는 연산이다.
a와 b는 N 이하의 양의 정수이다.
'같은 팀 여부 확인'연산에 대하여 한 줄에 하나씩 YES 혹은 NO로 결과를 출력한다.

아이디어 :
서로소 집합 알고리즘을 활용하여 '팀 합치기', '같은 팀 여부 확인' 연산을 수행할 수 있다.

문제 풀이 :

def findFamily(family, data) :
    if family[data] != data :
        family[data] = findFamily(family, family[data])
    return family[data]

def beFamily(family, t1, t2) :
    t1_family = findFamily(family, t1)
    t2_family = findFamily(family, t2)
    if t1_family < t2_family :
        family[t2] = t1
    else :
        family[t1] =  t2

n, m = map(int, input().split())
family = [0] * (n+1)

for i in range(1, n+1) :
    family[i] = i

for _ in range(m) :
    teacher_input, t1, t2 = map(int, input().split())
    
    if teacher_input == 0 :
        beFamily(family, t1, t2)

    else :
        if findFamily(family, t1) == findFamily(family, t2) :
            print("YES")
        else :
            print("NO")

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도시 분할 계획

문제 설명 :
동물원에서 막 탈출한 원숭이 한 마리가 세상구경을 하고 있다. 그러다가 평화로운 마을에 가게 되었는데, 그곳에서는 알 수 없는 일이 벌어지고 있었다.

마을은 N개의 집과 그 집들을 연결하는 M개의 길로 이루어져 있다. 길은 어느 방향으로든지 다닐 수 있는 편리한 길이다. 그리고 각 길마다 길을 유지하는데 드는 유지비가 있다.

마을의 이장은 마을을 두 개의 분리된 마을로 분할할 계획을 가지고 있다. 마을이 너무 커서 혼자서는 관리할 수 없기 때문이다. 마을을 분할할 때는 각 분리된 마을 안에 집들이 서로 연결되도록 분할해야 한다. 각 분리된 마을 안에 있는 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재해야 한다는 뜻이다. 마을에는 집이 하나 이상 있어야 한다.

그렇게 마을의 이장은 계획을 세우다가 마을 안에 길이 너무 많다는 생각을 하게 되었다. 일단 분리된 두 마을 사이에 있는 길들은 필요가 없으므로 없앨 수 있다. 그리고 각 분리된 마을 안에서도 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재하게 하면서 길을 더 없앨 수 있다. 마을의 이장은 위 조건을 만족하도록 길들을 모두 없애고 나머지 길의 유지비의 합을 최소로 하고 싶다. 이것을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력 :
첫째 줄에 집의 개수 N, 길의 개수 M이 주어진다. N은 2이상 100,000이하인 정수이고, M은 1이상 1,000,000이하인 정수이다. 그 다음 줄부터 M줄에 걸쳐 길의 정보가 A B C 세 개의 정수로 주어지는데 A번 집과 B번 집을 연결하는 길의 유지비가 C (1 ≤ C ≤ 1,000)라는 뜻이다.

결과 :
첫째 줄에 없애고 남은 길 유지비의 합의 최솟값을 출력한다.

아이디어 :
마을을 두 개로 '분리' 해야 하고, 분리된 마을에는 비이 하나 이상 있어야 한다고 하니까 Kruskal MST로 최소 유지비의 길을 찾아내고, 그 중에서 가장 큰 비용의 길 하나를 빼면 된다.

문제 풀이 :

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

int findFamily(int _family[], int _data){
    if(_family[_data] != _data) {
        _family[_data] = findFamily(_family, _family[_data]);
    }

    return _family[_data];
}
void beFamily(int _family[], int _h1, int _h2){
    int _h1_family = findFamily(_family, _h1);
    int _h2_family = findFamily(_family, _h2);

    if(_h1_family < _h2_family) {
        _family[_h2_family] = _h1_family;
    }
    else {
        _family[_h1_family] = _h2_family;
    }
}

int kruskal(int _family[], vector<pair<int, pair<int, int>>>& _edges){

    int last_cost, result = 0;
    for(int i = 0 ; i < _edges.size() ; i++) {
        int cost = _edges[i].first;
        int h1 = _edges[i].second.first;
        int h2 = _edges[i].second.second;

        // cycle 발생하면, pass
        if(findFamily(_family, h1) == findFamily(_family, h2)) {
            continue;
        }
        else {
            beFamily(_family, h1, h2);
            result += cost;
            last_cost = cost;
        }
    }
    // 가장 큰 비용을 빼줘서 두 마을로 분할한다.
    return result - last_cost; 
}

int main(void){

    int n, m;
    cin >> n >> m;

    vector<pair<int, pair<int, int>>> edges;
    int* family = new int[n+1];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        family[i] = i;
    }
    
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int h1, h2, cost;
        cin >> h1 >> h2 >> cost;
        edges.push_back({cost, {h1, h2}});
    }
    sort(edges.begin(), edges.end());   

    cout << kruskal(family, edges);
    

    return 0;
}

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커리큘럼

문제 설명 :
철수는 온라인으로 컴퓨터공학강의를 듣고 있다.

이때 각 온라인강의는 선수강의가 있을 수 있는데, 선수 강의가 있는 강의는 선수 강의를 먼저. 들어야만 해당강의를 들을 수 있다.

예를들어 '알고리즘’ 강의의 선수 강의로 '자료구조'가 존재한다면, ‘자료구조를 들은 이후에 ‘알고리즘' 강의를 들을 수 있다.

철수는 총 N개의 강의를 듣고자 한다. 모든 강의는 1번부터 N번까지의 번호를 가진다.

또한 동시에 여러 개의 강의를 들을 수 있다고 가정한다.

예를 들어 N=3일 때, 3번강의의 선수 강의로 1번과 2번강의가 있고, 1번과 2번강의는 선수강의가 없다고 가정하자.

그리고 각 강의에 대하여 강의 시간이 다음과 같다고 가정하자.
1번 강의: 30시간
2번 강의: 20시간
3번 강의: 40시간

이 경우 1번 강의를 수강하기까지의 최소 시간은 30시간, 2번 강의를 수강하기까지의 최소 시간은 20시간, 3번 강의를 수강하기까지의 최소 시간은 70시간이다.

철수가 듣고자 하는 N개의 강의 정보가 주어졌을 때, N개의 강의에 대하여 수강하기까지 걸리는 최소 시간을 각각 출력하는 프로그램을 작성하시오.

입력 조건 :
첫째줄에 철수가 듣고자 하는 강의의 수 N(1≤N≤500)이 주어진다.

다음 N개의 줄에는 각 강의의 강의 시간과 그 강의를 듣기 위해 먼저 들어야하는 강의들의 번호가 자연수로 주어지며, 각 자연수는 공백으로 구분한다. 이때 강의시간은 100,000이하의 자연수이다. 각 강의번호는 1부터 N까지로 구성되며. 각줄은 -1로 끝난다.

출력 조건 :
N개의 강의에 대하여 수강하기까지 걸리는 최소 시간을 한 줄에 하나씩 출력한다

아이디어 :

위상 정렬 알고리즘 +
각 노드에 대하여 인접한 노드를 확인할 때, 인접한 노드에 대하여 현재보다 강의 시간이 더 긴 경우 결과 테이블에 더 오랜 시간이 걸리는 경우의 시간을 update시켜줘야 한다.

예를 들면, 아래의 그림과 같이 노드3은 노드1만 끝났다고 수강할 수 있는 것이 아니라.
노드1과 노드2가 둘 다 끝나야만 수강할 수 있기 때문에
노드3에 대해 결과 테이블을 update할 때 노드1과 노드2 중 최대값인 20을 더해줘야한다.
따라서 노드3을 수행하기 위한 최소 시간은 20 + 30 = 50이 된다.

문제 풀이 :

from collections import deque
import copy

def topologySort() :
    # 원본 배열(time)의 보존을 위해 deepcopy 진행
    # 그냥 shallow copy(=) : result = time은 변수를 복사했지만, 참조한 곳이 동일하기 때문에 같은 변수를 가리키게 된다.
    result = copy.deepcopy(time)
    q = deque()
    for i in range(1, v+1) :
        if indegree[i] == 0 :
            q.append(i)
    
    while q:
        node = q.popleft()
        for i in graph[node] :
            indegree[i] -= 1
            if indegree[i] == 0 :
                q.append(i)
            result[i] = max(result[i], result[node] + time[i])

    for i in result :
        print(i)



v = int(input())

indegree = [0] * (v + 1)
time = [0] * (v + 1)
graph = [[] for i in range(v + 1)]

for i in range(1, v+1) :
    data = list(map(int, input().split()))
    time[i] = data[0]
    # 1번쨰 인덱스 ~ 마지막 인덱스에서 -1번째 인덱스 (-1입력을 배제하기 위해)
    for j in data[1 : -1] :
        print(j, end=" ")
        indegree[i] += 1
        graph[j].append(i)

topologySort()