Spanning Tree?

• 그래프 내의 모든 정점을 포함하지만 사이클이 없는 트리로, 신장 트리라고도 한다.
• 스패닝 트리는 그래프의 최소 연결 부분 그래프이다.
  • 최소 연결은 간선의 수가 가장 적은 것을 의미한다.
  • n개의 정점을 가지는 그래프의 최소 간선의 수는 $n-1$개이고 $(n-1)$개의 간선으로 연결되어 있으면 필연적으로 트리 형태가 되고 이것이 바로 Spanning Tree가 된다.
• 즉, 그래프에서 일부 간선을 선택해서 만든 트리이다.

신장 트리란?

1. 연결 그래프의 부분 그래프이며, 그래프에서 모든 정점을 포함함
2. 정점 간 서로 연결이 되어있어야 한다.
3. 사이클이 존재하지 않는 그래프
4. 연결 그래프에서 신장트리는 1개가 아닌 다수일 수 있음
   

Spanning Tree의 특징

• DFS, BFS를 이용하여 그래프에서 신장 트리를 찾을 수 있다.
  탐색 도중에 사용된 간선만 모으면 만들 수 있다.
• 하나의 그래프에는 많은 신장 트리가 존재할 수 있다.
• Spanning Tree는 트리의 특수한 형태이므로 모든 정점들이 연결되어 있어야 한다.
  또한 사이클을 포함해서는 안된다.

MST

Spanning Tree 중에서 사용된 간선들의 가중치 합이 최소인 트리

• MST = Minimum Spanning Tree = 최소 신장 트리
• 각 간선의 가중치가 동일하지 않을 때 단순히 가장 적은 간선을 사용한다고 해서 최소 비용이 얻어지는 것은 아니다.
• MST는 간선에 가중치를 고려하여 최소 비용의 스패닝 트리를 선택하는 것을 말한다.
• 즉, 네트워크(가중치를 간선에 할당한 그래프)에 있는 모든 정점들을 가장 적은 수의 간선과 비용으로 연결하는 것이다.

MST의 특징

• 간선의 가중치 합이 최소여야 한다.
• n개의 정점을 가지는 그래프에 대해서 반드시 $(n-1)$개의 간선만을 사용해야 한다.

3. 사이클이 포함되어서는 안된다.

MST 구현 방법

1. Kruskal MST 알고리즘

Greedy를 이용하여 네트워크(가중치를 간선에 할당한 그래프)의 모든 정점을 최소 비용으로 연결하는 최적 해답을 구하는 것

• MST가
  1) 최소 비용의 간선으로 구성됨
  2) 사이클을 포함하지 않음
  위 조건에 근거하여 각 단계에서 사이클을 이루지 않는 최소 비용 간선을 선택한다.

• 간선 선택을 기반으로 하는 알고리즘 이다.

• 이전 단계에서 만들어진 신장 트리와는 상관없이 무조건 최소 간선만을 선택하는 방법

Kruskal 알고리즘의 동작

1. 그래프의 간선들을 가중치의 오름차순으로 정렬한다.
2. 정렬된 간선 리스트에서 순서대로 사이클을 형성하지 않는 간선을 선택한다.
   • 즉, 가장 낮은 가중치를 먼저 선택한다.
   • 사이클을 형성하는 간선을 제외한다.
3. 해당 간선을 현재의 MST의 집합에 추가한다.

Kruskal 알고리즘의 구체적인 동작 과정

Kruskal 알고리즘을 이용하여 MST를 만드는 과정

• 간선 선택을 기반으로 하는 알고리즘
• 이전 단계에서 만들어진 신장 트리와는 상관없이 무조건 최소 간선만을 선택하는 방법

주의 !!!!

• 다음 간선을 이미 선택된 간선들의 집합에 추가할 때 사이클을 생성하는지 체크
  새로운 간선이 이미 다른 경로에 의해 연결되어 있는 정점들을 연결할 때 사이클이 형성된다.
  즉, 추가할 새로운 간선의 양끝 정점이 같은 집합에 속해 있으면 사이클이 형성된다.
• 사이클 생성 여부를 확인하는 방법
  추가하고자 하는 간선의 양끝 정점이 같은 집합에 속해 있는지를 검사한다.
• union-find 알고리즘 사용 ..

Kruskal 알고리즘의 시간 복잡도

• union-find 알고리즘을 이용하면 Kruskal 알고리즘의 시간 복잡도는 간선들을 정렬하는 시간에 좌우된다.
• 즉, 간선e개를 퀵정렬과 같은 효율적인 알고리즘으로 정렬한다면
  Kruskal 알고리즘의 시간 복잡도는 $O(elog_2e)$이 된다.
• Prim 알고리즘의 시간 복잡도는 $(O(n^2)$이므로
  • 그래프 내에 적은 숫자의 간선만을 가지는 '희소 그래프(Sparse Graph)'의 경우 Kruskal 알고리즘이 적합하고
  • 그래프에 간선이 많이 존재하는 '밀집 그래프(Dense Graph)'의 경우는 Prim 알고리즘이 적합하다.

Prim 알고리즘

시작 정점에서부터 출발하여 신장트리 집합을 단계적으로 확장해나가는 방법

Prim 알고리즘의 동작

1. 시작 단계에서는 시작 정점만이 MST 집합에 포함된다.
2. 앞 단계에서 만들어진 MST 집합에 인접한 정점들 중에서 최소 간선으로 연결된 정점을 선택하여 트리를 확장한다.
   즉, 가장 낮은 가중치를 먼저 선택한다.
3. 위의 과정을 트리가 $(n-1)$개의 간선을 가질 때까지 반복한다.

Prim 알고리즘의 구체적인 동작 과정

Prim 알고리즘을 이용하여 MST를 만드는 과정

• 정점 선택을 기반으로 하는 알고리즘
• 이전 단계에서 만들어진 신장 트리를 확장하는 방법
  

Prim 알고리즘의 시간 복잡도

• 주 반복문이 정점의 수를 n만큼 반복하고, 내부 반복문이 n번 반복
  • Prim 알고리즘의 시간복잡도는 $O(n^2)$이 된다.

참고링크

https://gmlwjd9405.github.io/2018/08/30/algorithm-prim-mst.html