[PS][BOJ/1011번]-Fly me to the Alpha Centauri

문제 설명

우현이는 어린 시절, 지구 외의 다른 행성에서도 인류들이 살아갈 수 있는 미래가 오리라 믿었다. 그리고 그가 지구라는 세상에 발을 내려 놓은 지 23년이 지난 지금, 세계 최연소 ASNA 우주 비행사가 되어 새로운 세계에 발을 내려 놓는 영광의 순간을 기다리고 있다.

그가 탑승하게 될 우주선은 Alpha Centauri라는 새로운 인류의 보금자리를 개척하기 위한 대규모 생활 유지 시스템을 탑재하고 있기 때문에, 그 크기와 질량이 엄청난 이유로 최신기술력을 총 동원하여 개발한 공간이동 장치를 탑재하였다. 하지만 이 공간이동 장치는 이동 거리를 급격하게 늘릴 경우 기계에 심각한 결함이 발생하는 단점이 있어서, 이전 작동시기에 k광년을 이동하였을 때는 k-1 , k 혹은 k+1 광년만을 다시 이동할 수 있다. 예를 들어, 이 장치를 처음 작동시킬 경우 -1 , 0 , 1 광년을 이론상 이동할 수 있으나 사실상 음수 혹은 0 거리만큼의 이동은 의미가 없으므로 1 광년을 이동할 수 있으며, 그 다음에는 0 , 1 , 2 광년을 이동할 수 있는 것이다. ( 여기서 다시 2광년을 이동한다면 다음 시기엔 1, 2, 3 광년을 이동할 수 있다. )

김우현은 공간이동 장치 작동시의 에너지 소모가 크다는 점을 잘 알고 있기 때문에 x지점에서 y지점을 향해 최소한의 작동 횟수로 이동하려 한다. 하지만 y지점에 도착해서도 공간 이동장치의 안전성을 위하여 y지점에 도착하기 바로 직전의 이동거리는 반드시 1광년으로 하려 한다.

김우현을 위해 x지점부터 정확히 y지점으로 이동하는데 필요한 공간 이동 장치 작동 횟수의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하라.

입력

입력의 첫 줄에는 테스트케이스의 개수 T가 주어진다. 각각의 테스트 케이스에 대해 현재 위치 x 와 목표 위치 y 가 정수로 주어지며, x는 항상 y보다 작은 값을 갖는다. (0 ≤ x < y < 231)

출력

각 테스트 케이스에 대해 x지점으로부터 y지점까지 정확히 도달하는데 필요한 최소한의 공간이동 장치 작동 횟수를 출력한다.

문제 분석 과정

이번 문제는 분석하는데 상당한 시간이 소요되었다.우선 조건을 살펴보았다.

1. 이동거리가 0 이거나 음수일 경우는 무시한다.
2. Kn 은 n 번째의 가능한 이동거리들을 뜻한다.
3. 마지막 이동거리는 1이 되게 해야한다.
4. 가능한 적은 횟수로 이동해야한다.

다음으로는 주어진 입력과 무엇을 출력해야하는지를 예시를 활용해 생각해보았다.

x : 0 y : 3 (0,3)
1 1 1

x : 1 y : 5 (0,4)
1 2 1

x : 45 y : 50 (0,5)
1 2 1 1

위 예시를 통해 문제 필요한것이 y-x(이하 leng) 라는 것을 알 수 있었다.
leng 은 총 이동해야하는 거리이다. 여기까지하고 DP 를 떠올렸다. 테스트케이스도 여러개이고 이전항을 기억하면서 갈 수 있을거같다는 생각을 했다.
하지만 입력 범위가 아래와 같으므로 DP로 해결할 수 없을 것이라는 생각이 들었다. 그럼 이범위를 어떻게 해결해야할까? 일일히 전부 찾는다면 시간초과가 나올 것이다. 이렇게 범위가 어마무시한 문제들을 제곱(제곱근)이나, 특수한 점화식을 이용해서 해결했던 기억이 있다.

일단 아직 감이 오지않으니 하나 하나 살펴보기로 했다.

이동거리가 1이라면? => 1 / 1
이동거리가 2이라면? => 2 / 11
이동거리가 3이라면? => 3 / 111
이동거리가 4이라면? => 3 / 121
이동거리가 5이라면? => 4 / 1211
이동거리가 6이라면? => 4 / 1221
이동거리가 7이라면? => 5 / 12211
이동거리가 8이라면? => 5 / 12221
이동거리가 9이라면? => 5 / 12321
이동거리가 10이라면?=> 6 / 123211
이동거리가 11이라면?=> 6 / 123221
이동거리가 12이라면?=> 6 / 123321
....
이동거리가 16이라면?=> 7 / 1234321
이동거리가 25이라면?=> 9 / 123454321

위에 것을 바탕으로 다시 재정리 하면 아래와 같다.

이동횟수	leng	형태
3	2^2	121
5	3^2	12321
7	4^2	1234321
9	5^2	123454321
11	6^2	12345654321
13	7^2	1234567654321
2*k-1	k^2	12345...k...54321
2*k+1	(k+1)^2	12345...(k+1)...54321

따라서 아래 범위에 속하는 녀석들은

위와 같이 특정 할 수 있다. 이제 이것들을 코드로 옮기면 아래와 같다.

소스 코드

# 조건 1 
# 이동거리가 0 이거나 음수일 경우는 무시한다.
# 조건 2
# Kn 은 n 번째의 가능한 이동거리들을 뜻한다.
# 조건 3
# 마지막 이동거리는 1이 되게 해야한다.
# 조건 4
# 가능한 적은 횟수로 이동해야한다.

# 조건 4가지를 종합해보면 이동거리는 /\ 같은 모양일 것이고
# 그때 직선의 기울기는 1과 -1 일 것이다.
# 기울기가 변하는 극대점은 (총 횟수의/2)가 되어야한다. 

# 입력
# x y 가 주어진다

# 첫 이동은 1일 수 밖에 없다. 마지막 이동역시 1이 여야한다.
# x : 0 y : 3 (0,3)
# 1 1 1

# x : 1 y : 5 (0,4)
# 1 2 1

# x : 45 y : 50 (0,5)
# 1 2 1 1

# 주어지는 x,y의 차이가 중요하다.
# y-x = 이동해야하는 거리
# dp로 접근이 가능할 것같다.

# 이동거리가 1이라면?
# 1
# 이동거리가 2이라면?
# 2
# 이동거리가 3이라면?
# 3 111
# 이동거리가 4이라면?
# 3 121
# 이동거리가 5이라면? 
# 4 1211
# 이동거리가 6이라면?
# 4 1221
# 이동거리가 7이라면?
# 5 12211
# 이동거리가 8이라면?
# 5 12221
# 이동거리가 9이라면?
# 5 12321
# 이동거리가 10이라면?
# 6 123211
# 이동거리가 11이라면?
# 6 123221
# 이동거리가 12이라면?
# 6 123321

# 3 2^2   121 
# 5 3^2   12321 
# 7 4^2   1234321
# 9 5^2   123454321
# 11 6^2  12345654321
# 13 7^2  1234567654321

# k^2 = 2k-1 

# k^2+1 ~ k^2+k => 2k

# k^2 +(k+1) ~ (k+1)^2 => 2k+1
t = int(input())

for _ in range(t):
    x,y = map(int,input().split())
    leng = y - x
    if leng < 4:
        print(leng)
    elif leng == 4 :
        print(3)
    else:
        k,result = 0,0
        while 1:
            if (k**2 < leng) and (leng <= (k+1)**2):
                break
            else:
                k += 1
        if k**2+1 <= leng and leng <= k**2+k  :
            result = 2*k
        elif k^2 +(k+1) <= leng and leng <= (k+1)**2 :
            result = 2*k+1
        
        print(result)

문제 원본
소스코드 원본

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