BOJ 베르트랑 공준(4948번)
문제
베르트랑 공준은 임의의 자연수 n에 대하여, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수는 적어도 하나 존재한다는 내용을 담고 있다.
이 명제는 조제프 베르트랑이 1845년에 추측했고, 파프누티 체비쇼프가 1850년에 증명했다.
예를 들어, 10보다 크고, 20보다 작거나 같은 소수는 4개가 있다. (11, 13, 17, 19) 또, 14보다 크고, 28보다 작거나 같은 소수는 3개가 있다. (17,19, 23)
자연수 n이 주어졌을 때, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력
입력은 여러 개의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 각 케이스는 n을 포함하는 한 줄로 이루어져 있다.
입력의 마지막에는 0이 주어진다.
출력
각 테스트 케이스에 대해서, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수의 개수를 출력한다.
제한
1 ≤ n ≤ 123,456
예제 입력
1
10
13
100
1000
10000
100000
0예제 출력
1
4
3
21
135
1033
8392THIKING
소수
1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 자연수
소수가 위와 같이 정의되므로 가장 쉽게 떠올릴 수 있는 방법은 1. 주어진 수 n보다 작은 자연수들로 모두 나눠서 약수가 있는지 확인하는 방법이다.
다른 방법으로는 2. √N 이하의 자연수로 나누는 방법이 있다.
n = a x b를 만족한다면 a, b 중 하나는 √N과 같거나 작은 수임을 활용한 것이다.
16을 예로 들면
1 x 16
2 x 8
4 x 4
8 x 2
16 x 1어느 경우든 a, b 중 하나는 √16 값인 4보다 작거나 같다.
그러므로 √N 이하의 자연수 중 나누어 떨어지는 수가 있는지만 확인하더라도 n이 소수인지 아닌지 확인할 수 있다.
처음에는 2.의 방식대로 풀었는데 시간 초과 에러가 떴다.
저기서 별다른 방식이 떠오르지 않아서 구글링을 해보니 "에라토스테네스의 체"라는 소수를 구하는 유명한 방법이 있어서 참고하여 문제를 풀게 되었다.
내 풀이
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
while(true) {
int n = sc.nextInt();
if (n == 0) {
break;
}
boolean arr[] = new boolean[(2 * n) + 1];
arr[0] = true;
arr[1] = true;
for (int i = 2; i < Math.sqrt(2 * n) + 1; i++) {
if (arr[i]) continue;
for (int j = i*i; j < (2 * n) + 1; j+=i) {
arr[j] = true;
}
}
int cnt = 0;
for (int i = n+1; i < (2 * n) + 1; i++) {
if (arr[i] == false) {
cnt++;
}
}
System.out.println(cnt);
}
}
}배운 것 - 에라토스테네스의 체
소수를 구하는 대표적인 방법 중 하나
k=2 부터 √N 이하까지 반복하여 자연수들 중 k를 제외한 k의 배수들을 제외시키는 방법
즉, "k는 2부터 n까지 소수가되는 수의 배수를 n까지 지우고 남은 수는 소수가 된다"는 원리로 동작하는 알고리즘이다
2 - 소수니까 소수 count를 올리고 2의 배수를 제외시킨다
3 - 소수니까 소수 count를 올리고 3의 배수를 제외시킨다
4 - 2의 배수라 이미 제외되어 있다
5 - 소수니까 소수 count를 올리고 5의 배수를 제외시킨다
6 - 3의 배수라 이미 제외되어 있다
7 - 소수니까 소수 count를 올리고 7의 배수를 제외시킨다
주어진 수가 60이라면, 8의 제곱이 64로 60보다 크므로 7까지만 위의 과정을 수행하면 된다.
