6. 최단 경로 알고리즘

Yeonghyeon·2022년 8월 14일
다익스트라알고리즘우선순위 큐최단 경로코딩테스트플로이드 워셜힙
0

이코테 2021

목록 보기
6/7

본 포스팅은 (이코테 2021) 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬을 참고하여 공부하고 정리한 글임을 밝힙니다.

최단 경로 알고리즘

  • 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘

  • 다양한 문제 상황

    • 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
    • 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
    • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로

  • 각 지점은 그래프에서 노드로 표현

  • 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현!

<방향 그래프 예시>

다익스트라 최단 경로 알고리즘

  • 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로 계산
  • 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작
    • 현실 세계의 간선은 음의 간선으로 표현 X
  • 다익스트라 최단 경로 알고리즘 == 그리디 알고리즘으로 분류
    • 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드 선택

알고리즘 동작 과정

  1. 출발 노드를 설정한다
  2. 최단 거리 테이블을 초기화한다
  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
  5. 위 과정에서 3,4번 과정 반복한다.
  • 동작 과정에서 최단 거리 테이블: 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보
  • 처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 '이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야'라고 갱신

다익스트라 알고리즘: 동작 과정 살펴보기

  • 시작 노드는 1번, 다른 노드까지의 거리는 무한으로 초기화
  • 방문하지 않은 노드 중에서 가장 거리가 짧은 노드를 매번 선택해서 해당 노드를 거쳐가는 경로 확인하여 거리 테이블 갱신
  • 1번 노드를 거쳐갈 때의 비용과 현재까지의 비용을 비교해 더 짧은 노드로 테이블 갱신(1번 노드와 인접한 노드 모두 확인)
  • 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 4번 노드를 선택하여 처리(4번 노드와 인접한 노드 모두 확인)
  • 4번노드까지의 거리는 1 (고정), 4번 노드를 거쳐가는 거리를 계산할 때는 1+3, 1+1로 계산

다익스트라 알고리즘의 특징

  • 그리디 알고리즘: 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드 선택

  • 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 안 바뀜

    • 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해 가능

  • 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장됨

    	- 완벽한 형태의 최단 경로를 구하고자한다면, 소스코드에 추가 기능 넣기

다익스트라 알고리즘: 간단한 구현 방법 소스코드

  • 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위한 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)
import sys
input = sys.stdin.realind
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값 -> 10억

# 노드의 개수, 간선 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호 입력받기
start = int(input())

# 3가지 리스트 필요: 그래프, 방문, 거리
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기 (연결리스트)
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)


# 모든 간선 정보 입력받기 (방향그래프라고 생각함)
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용 = c
    graph[a].append((b, c)) # 튜플

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호 반환 -> 매 단계마다 호출되는 함수
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 최단 거리가 가장 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    # 출발 노드에서 인접한 노드까지의 거리 갱신
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내 방문처리
        now = get_smallest_node() # 매 순차탐색
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리 출력
    else:
        print(distance[i])

다익스트라 알고리즘: 간단한 구현 방법의 성능 분석

  • 총 O(V)O(V)번에 걸쳐 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 함 ➡️ 전체 시간 복잡도는 O(V2)O(V^2)
  • 일반적으로 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 이 코드로 문제 해결가능하지만, 노드 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 불가능

우선순위 큐(Priority Queue)

  • 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조 (별도로 우선순위 지정)
  • ex) 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우 우선순위 큐 이용
  • 표준 라이브러리 형태로 지원

힙(Heap)

  • 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나 (트리 구조 사용)
  • 최소 힙과 최대 힙
  • 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용

힙 라이브러리 사용 예제: 최소 힙

  • heap 알고리즘: 데이터 꺼낼 때 우선순위가 높은 원소부터 차례대로 나옴
  • 이를 바탕으로 오름차순 정렬 가능: 단순히 모든 원소 넣은 후에 차례대로 꺼내면 됨
import heapq

# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
	h = []
    result = []
    # 모든 원소 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
    	heapq.heappush(h, value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
    	result.append(heapq.heappop(h))
    return result
    
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)

Out:

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

힙 라이브러리 사용 예제: 최대 힙

  • 파이썬에서는 최소 힙만 제공 ➡️ 데이터의 부호를 바꿔서 힙에 넣고, 반대로 꺼낼 때도 부호 바꿔서
import heapq

# 내림차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
	h = []
    result = []
    # 모든 원소 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
    	heapq.heappush(h, -value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
    	result.append(-heapq.heappop(h))
    return result
    
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)

Out:

[9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]

다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법

  • 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 갖아 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조 이용
  • 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일
    • 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다름
    • 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택 ➡️ 최소 힙 사용

다익스트라 알고리즘: 동작 과정 살펴보기(우선순위 큐)

  • 우선순위 큐에 튜플 형태로 넣을 때, 첫 번째 원소를 거리로 설정하면 거리 기준으로 가장 짧은 노드가 나올 수 있도록 큐가 구성됨 (최소 힙)
  • 별도로 방문 여부를 기록하는 테이블을 사용하지않고, 단순히 최단 거리 테이블과 비교하여 큐에 기록된 거리가 현재 노드에 대한 거리값보다 크기 때문에 무시하는 로직 사용 가능 (이미 방문되어 처리된 것으로 간주)

다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법 소스 코드

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한 의미하는 값 -> 10억

# 노드의 개수, 간선 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호 입력받기
start = int(input())

# 2가지 리스트 필요: 그래프, 거리
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기 (연결리스트)
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heaq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리 출력
    else:
        print(distance[i])

다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법의 성능 분석

  • 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도 O(ElogV)O(ElogV)
  • 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while)은 노드 개수 V 이상의 횟수로 처리되지 않음
    • 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총 횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산 수행될 수 있음
  • 직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사

    • 시간 복잡도를 O(ElogE)O(ElogE)로 판단 가능

    • 중복 간선을 포함하지 않는 경우에 이를 O(ElogV)O(ElogV)로 정리 가능

      • O(ElogE)→O(ElogV2)→O(2ElogV)→O(ElogV)O(ElogE) \to O(ElogV^2) \to O(2ElogV) \to O(ElogV)

플로이드 워셜 알고리즘

  • 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산하는 알고리즘

  • 플로이드 워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘 수행

    • 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않음

  • 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보 저장

  • 다이나믹 프로그래밍 유형에 속함

  • 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우 확인

    • a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사
    • 점화식: Dab=min(Dab,Dak+Dkb)D_{ab} = min(D_{ab}, D_{ak}+D_{kb})

플로이드 워셜 알고리즘: 동작 과정 살펴보기

  • 2차원 테이블 이용: 행은 출발 노드, 열은 도착 노드
  • 초기화 후, 모든 노드에 대해 각 노드를 거쳐가는 경우 확인 후 테이블 갱신하는 과정 거침
    - 이중 반복문 이용하여 모든 a에서 모든 b로 가는 경우 확인

플로이드 워셜 알고리즘 소스코드

INF = int(1e9) # 무한 의미하는 값 -> 10억

# 노드의 개수, 간선 개수 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1): # 노드는 1번부터 시작하는 가정하에
    graph[a][a] = 0
    # for b in range(1, n+1):
    #     if a == b:
    #         graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용 = C
    a, b, c, = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n+1):
    for a in range(1, n+1):
        for b in ragne(1, n+1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과 출력
for a in range(1, n+1):
    for b in ragne(1, n+1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

플로이드 워셜 알고리즘 성능 분석

  • 노드 개수가 N개일 때, N번의 단계 수행 (N이 500개 이하일 때)
    • 각 단게마다 O(N2)O(N^2) 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로 고려
    • 3중 반복문
  • 따라서 총 시간복잡도는 O(N^3)

<문제 1> 전보

문제 설명

문제 1 해결 아이디어

  • 핵심 아이디어: 한 도시에서 다른 도시까지의 최단 거리 문제로 치환
  • N과 M의 범위가 충분히 크므로 우선순위 큐를 활용한 다익스트라 알고리즘 구현
  • 모든 도시들이 메시지를 받는 데까지 걸리는 시간을 구하므로, 도달이 가능한 도시 중에서 가장 큰 비용을 가지는 (가장 거리가 먼) 도시에 대한 정보를 출력하는 문제

답안 예시

import heapq
import sys

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로 0으로 설정, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 방문 처리된 노드는 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 인접한 노드들 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 노드의 개수, 간선 개수, 시작노드 입력받기
n, m, start = map(int, input().split())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기 (연결리스트)
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보 입력 받기
for _ in range(m):
    x, y, z = map(int, input().split())
    graph[x].append((y, z))

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0
# 도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0
for d in distance:
    if d != INF:
        count += 1
        max_distance = max(max_distance, d)

# 시작 노드는 제외해야 하므로 count - 1 출력
print(count - 1, max_distance)

<문제 2> 미래 도시

문제 설명

문제 2 해결 아이디어

  • 핵심 아이디어: 전형적인 최단 거리 문제, 최단 거리 알고리즘 이용
  • N의 크기가 최대 100이므로 플로이드 워셜 알고리즘 이용해도 효율적으로 해결 가능
  • 플로이드 워셜 알고리즘 수행한 뒤 (1번 노드에서 K까지의 최단 거리 + K에서 X까지의 최단 거리)를 계산하여 출력

답안 예시


INF = int(1e9)

# 노드의 개수, 간선 개수, 시작노드 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기 (연결리스트)
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
    graph[a][a] = 0
    # for b in range(1, n+1):
    #     if a == b:
    #         graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보 입력받아 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A와 B가 서로에게 가는 비용은 1
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1

# 거쳐 갈 노드 k와 최종 목적지 노드 x 입력받기
x, k = map(int, input().split()) 

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n+1):
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(1, n+1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과 출력
distance = graph[1][k] + graph[k][x]

# 도달할 수 없는 경우 -1 출력
if distance >= 1e9:
    print("-1")
else:
    print(distance)
profile
Yeonghyeon
이전 포스트

5. 이진 탐색 알고리즘

다음 포스트

7. 우선순위 큐(Priority Queue)와 힙(Heap)

0개의 댓글

관련 채용 정보