문제

n가지 종류의 동전이 있다. 각각의 동전이 나타내는 가치는 다르다. 이 동전을 적당히 사용해서, 그 가치의 합이 k원이 되도록 하고 싶다. 그 경우의 수를 구하시오. 각각의 동전은 몇 개라도 사용할 수 있다.

사용한 동전의 구성이 같은데, 순서만 다른 것은 같은 경우이다.

---

입력
첫째 줄에 n, k가 주어진다. (1 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ k ≤ 10,000) 다음 n개의 줄에는 각각의 동전의 가치가 주어진다. 동전의 가치는 100,000보다 작거나 같은 자연수이다.

---

출력
첫째 줄에 경우의 수를 출력한다. 경우의 수는 231보다 작다.

문제 링크

풀이

k원을 만들 수 있는 동전의 경우의 수를 구하기 위해서 k-동전의 값어치원을 만들기 위한 동전의 경우의 수를 이용하는 dp 문제이다.

점화식

k = coin인 경우에
tabular[k] += tabular[0]이므로 tabular[0]을 참조하기때문에
tabular[0] = 1로 초기화 해둔다.

$f_{pre}(k)$는 현재 동전을 사용하지 않았을 때의 경우의 수를 의미하고,

$f(k-coin)$은 현재 동전 하나의 값어치가 모자른 경우의 수로, k를 만들기 위해 현재 동전 하나만 추가하면 되는 경우이다.

$f_{new}(k)$,즉 현재 동전을 사용했을 때의 경우의 수를 구하기 위해 $f_{pre}(k)$와 $f(k-coin)$을 더한다.

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
초기값	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
동전: 1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
동전: 1, 2	1	1	2	2	3	3	4	4	5	5	6
동전: 1, 2, 5	1	1	2	2	3	4	5	6	7	8	10

• tabular[0] = 1
• tabular[k] = tabular[k] + tabular[k-coin]

  k - coin > 0을 확인해야 한다.

코드

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main() {
    cin.tie(0);
    ios_base::sync_with_stdio(false);

    int n, k;
    cin >> n >> k;
    vector<int> coins;
    vector<int> tabular(k+1, 0);

    for (int i=0; i < n; i++){
        int coin;
        cin >> coin;
        coins.push_back(coin);
    }

    // sort(coins.begin(), coins.end());
    // 직접 표를 그려보면 알지만 정렬은 필요없다.

    tabular[0] = 1;
    for(auto coin: coins){
        for (int i=1; i<k+1; i++){
            if ( i >= coin ) tabular[i] += tabular[i-coin];
        }
    }

    cout << tabular[k] << endl;

    return 0;
}