이번 주의 문제
https://www.acmicpc.net/problem/2805
상근이는 나무 M미터가 필요하다. 근처에 나무를 구입할 곳이 모두 망해버렸기 때문에, 정부에 벌목 허가를 요청했다. 정부는 상근이네 집 근처의 나무 한 줄에 대한 벌목 허가를 내주었고, 상근이는 새로 구입한 목재절단기를 이용해서 나무를 구할것이다.
목재절단기는 다음과 같이 동작한다. 먼저, 상근이는 절단기에 높이 H를 지정해야 한다. 높이를 지정하면 톱날이 땅으로부터 H미터 위로 올라간다. 그 다음, 한 줄에 연속해있는 나무를 모두 절단해버린다. 따라서, 높이가 H보다 큰 나무는 H 위의 부분이 잘릴 것이고, 낮은 나무는 잘리지 않을 것이다. 예를 들어, 한 줄에 연속해있는 나무의 높이가 20, 15, 10, 17이라고 하자. 상근이가 높이를 15로 지정했다면, 나무를 자른 뒤의 높이는 15, 15, 10, 15가 될 것이고, 상근이는 길이가 5인 나무와 2인 나무를 들고 집에 갈 것이다. (총 7미터를 집에 들고 간다) 절단기에 설정할 수 있는 높이는 양의 정수 또는 0이다.
상근이는 환경에 매우 관심이 많기 때문에, 나무를 필요한 만큼만 집으로 가져가려고 한다. 이때, 적어도 M미터의 나무를 집에 가져가기 위해서 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.
<입력>
첫째 줄에 나무의 수 N과 상근이가 집으로 가져가려고 하는 나무의 길이 M이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000,000, 1 ≤ M ≤ 2,000,000,000)둘째 줄에는 나무의 높이가 주어진다. 나무의 높이의 합은 항상 M보다 크거나 같기 때문에, 상근이는 집에 필요한 나무를 항상 가져갈 수 있다. 높이는 1,000,000,000보다 작거나 같은 양의 정수 또는 0이다.
생각해본 풀이
- 범위가 굉장히 크기 때문에 완전탐색을 할 순 없다! 시간이 초과될 것이다...
- 최대값을 구해야 하니까 나무의 최대값을 기준으로 이분탐색을 하면 좋겠다
import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.StringTokenizer;
public class Main {
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
int N = Integer.parseInt(st.nextToken()); //나무의 수
int M = Integer.parseInt(st.nextToken()); //나무의 길이
int[] tree = new int[N]; //나무의 높이
st = new StringTokenizer(br.readLine());
int max = 0; //최대 나무 높이
for(int n = 0; n < N; n++) {
tree[n] = Integer.parseInt(st.nextToken());
max = Math.max(max, tree[n]);
}
int min = 0;
while(min < max) {
int mid = (min + max) / 2;
long sum = 0;
for(int n = 0; n < N; n++) {
if(tree[n] - mid <= 0) continue;
sum += tree[n] - mid;
}
if(sum < M) {
max = mid; //왼쪽 탐색
} else {
min = mid + 1; //오른쪽 탐색
}
}
System.out.println(min - 1);
}
}함께 보면 좋은 알고리즘
랜선 자르기와 나무 자르기의 문제 비교
나무 자르기 코드에서 while (min < max) 조건을 사용할 수 있는 이유는 탐색 종료 시점에서 min과 max가 교차하기 직전에 탐색을 종료하기 때문이다.
이와 달리 랜선 자르기 문제에서는 탐색 종료 후에도 최적 값을 보장하기 위해 범위가 교차해야 하는 경우가 존재한다.
나무 자르기에서 while (min < max)가 작동하는 이유
- while (min < max) 조건은 min == max가 되기 직전에 종료됩니다.
- 탐색 종료 시점에서 min은 항상 가능한 높이 중 가장 높은 값을 나타냅니다.
- max = mid로 범위 축소 가능
즉, 나무 자르기는 탐색 중 min 값이 항상 가능한 최대 높이로 수렴하며, 종료 시점에 올바른 값을 보장하지만, 랜선 자르기에서는 필요한 랜선 개수를 만족하는 여러 후보값 중 최적의 길이를 찾아야 하므로, 탐색 종료 후에도 교차된 상태에서 최적의 길이를 한 번 계산해야 한다.
- 나무 자르기: 종료 조건으로 min 값이 최적 높이로 정확히 수렴하기 때문에 mid < max 조건이 유효합니다.
- 랜선 자르기: min과 max가 교차하는 순간 최적 값을 보장하기 위해 min <= max를 사용해야 합니다.
