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선형대수 (Linear Algebra) (1): 선형시스템 기초

선형시스템 (Linear System)

선형시스템 복습: 초/중등 교과과정

• 일차 방정식

  ex) $3x = 6$

• 연립 일차 방정식 -> 가우스 소거법
  ex1) 미지수가 2개인 연립 일차 방정식

  $3x + y = 2$
  $x - 2y = 3$

• ex2) 미지수가 3개인 연립 일차 방정식

  $3x + y + z = 4$
  $x - 2y - z = 1$
  $x + y + z = 2$

선형대수(Linear Algebra)의 목표

• 어떠한 연립 일차방정식(선형 시스템: Linear System) 문제라도
  정형적인 방법으로 표현하고 해결하는 방법을 배우는 것이 목표입니다.

  $Ax = b$
  <=> $A^{-1} Ax = A^{-1} b$
  <=> $x = A^{-1} b$

선형 시스템의 구성 요소

• 3개의 선형방정식, 3개의 미지수으로 구성된 연립일차방정식을 3(식) X 3(미지수) 선형시스템이라고 합니다.

  • $3x + y + z = 4$ ~ $E1$
  • $x - 2y - z = 1$ ~ $E2$
  • $x + y + z = 2$ ~ $E3$
    => 이 방정식들을 각각 선형방정식 (Linear Equation) 이라고 합니다.
    위 식을 모두 만족하는 미지수(unknown, variable) x, y, z를 구하는 것이 목표입니다.

선형시스템: $Ax = b$, 연립일차방정식의 대수적 표현

선형시스템을 $Ax = b$ 로 표현하기

1. 미지수를 열벡터로 $x$로 표현한다.
2. 선형시스템의 선형방정식에 대해 다음을 수행한다.
   2.1 계수를 모아 $A$의 행벡터로 표현한다.
   2.2 상수를 모아 $b$에 표현한다.

• $Ex\ 1)$

  $3x_{1} + x_{2} = 4$
  $x_{1} - 2x_{2} = 1$

  1. 미지수를 열벡터로 표현한다. $x = \left[\begin{matrix}x_{1} \\x_{2} \\\end{matrix}\right]$
     2.1 계수를 모아 A의 행벡터로 표현한다. $A = \left[\begin{matrix}3\ \ \ \ 1 \\1 -2 \end{matrix}\right]$
     2.2 상수를 모아 b에 표현한다. $b = \left[\begin{matrix}4 \\1 \\\end{matrix}\right]$
     최종: $Ax = b$ <=> $\left[\begin{matrix}3\ \ \ \ 1 \\1 -2 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_{1} \\x_{2} \\\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 \\1 \\\end{matrix}\right]$

• $Ex\ 2)$

  $x1 + 2x2 - x3 = 3$
  $x2 + 2x3 - x4 = 2$
  $x3 + 2x4 - x5 = 5$

  • $x = \left[\begin{matrix}x_{1} \\x_{2} \\x_{3} \\x_{4} \\x_{5} \\\end{matrix}\right]$
  • $A = \left[\begin{matrix}1\ \ \ 2\ -3\ \ \ 0\ \ \ 0\ \\0\ \ \ 1\ \ \ 2\ -1\ \ \ 0\ \\0\ \ \ 0\ \ \ 1\ \ \ \ 2\ -1\ \end{matrix}\right]$
  • $b = \left[\begin{matrix}3 \\2 \\ 5\end{matrix}\right]$
    => $Ax = b$ <=> $\left[\begin{matrix}1\ \ \ 2\ -3\ \ \ 0\ \ \ 0\ \\0\ \ \ 1\ \ \ 2\ -1\ \ \ 0\ \\0\ \ \ 0\ \ \ 1\ \ \ \ 2\ -1\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x_{1} \\x_{2} \\x_{3} \\x_{4} \\x_{5} \\\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 \\2 \\ 5\end{matrix}\right]$

정리

• $m \times n$의 선형시스템 $Ax = b$

• 식은 행이고, 행은 식이다. (선형방정식 - row)

• $m$은 선형방정식의 개수이다

• $n$은 미지수의 개수이다.

• $A$는 $m \times n$ 행렬이다.

• $x$는 $n-$벡터이다

• $b$는 $m-$벡터이다.

실습: 행렬과 벡터의 코딩 및 연산

행렬 코딩

import numpy as np

A = np.array([[3, 1, 1], [1, -2, -1], [1, 1, 1]])

print(A)
print(np.shape(A))

[[ 3  1  1]
 [ 1 -2 -1]
 [ 1  1  1]]
(3, 3)

벡터 코딩

b = np.array([4, 1, 2])

print(b)
print(np.shape(b))

[4 1 2]
(3,)

역행렬 구하기

A_inv = np.linalg.inv(A)

print(A_inv)
print(np.shape(A_inv))

[[ 5.00000000e-01 -7.40148683e-17 -5.00000000e-01]
 [ 1.00000000e+00 -1.00000000e+00 -2.00000000e+00]
 [-1.50000000e+00  1.00000000e+00  3.50000000e+00]]
(3, 3)

역행렬을 이용한 선형시스템 $Ax = b$의 해 구하기

# x = np.matmul(A_inv, b)
x = A_inv @ b

print(x)
print(np.shape(x))

[ 1. -1.  2.]
(3,)

결과 검출

# bb = np.matmul(A, x)
bb = A @ x

print(np.shape(bb))
print(bb)

if np.linalg.norm(b - bb) < 1e-3: # norm: 크기, 1e-3 = 10^-3
    print('Ok')
else:
    print('something wrong') 

(3,)
[4. 1. 2.]
Ok

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이 글은 프로그래머스 스쿨 인공지능 데브코스 과정에서 공부한 내용을 바탕으로 정리한 글입니다.