자유도 n 아니면 n-1

자유도 : 독립변수의 개수

if x+y+z=10 에서 자유도가 독립변수라면 3개 처럼보이나 실제는 2개로 그 이유는, x와 y가 결정이 되면 z는 자동으로 결정되기 때문임.

표본통계량 = 추정량

평균과 분산 $\mu 와 \sigma^2$ (모수=parameter)인 모집단에서 크기 n인 표본1 = $\{x_1, x_2, ..., x_n\}$ 의 평균과 분산은 각각 $\bar{x}, S^2$ 을 표본통계량 = 추정량

표본평균의 기대값 = 모집단의 평균 => 불편추정량

표본의 평균은 다음 수식과 같고, $\bar{x} = \cfrac{\sum_{i=1}^{n}x}{n}$
표본들(표본1, 표본2, 표본3 ...) 의 기대값은 모집단의 평균과 같다고 가정하면, $E(\bar{x})=\mu$
즉, 추정량의 기대값 = 모수이고 이때의 추정량을 불편추정량이라고 함
편의 = 추정량의 기대값 - 모수 = 0이므로 불편추정량(unbiased estimator)

분산은 불편 추정량?

표본의 분산은 $S^2 = \cfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n}$ 이고
이때 표본 분산의 기대값은 모집단의 분산과 같지 않음
$E(S^2) \neq \sigma^2$ => 불편 추정량이 아님!

표본 분산 계산식에서 $n->n-1$을 하였더니 모집단의 분산과 같아짐
$S^2 = \cfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$
표본분산을 불편추정량으로 만들기 위해 n 대신 n-1을 사용

표본 분산의 자유도는 n? n-1?

얼핏보면 $S^2 = \cfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$ 이 식에서 자유도는 독립변수 x의 개수인 n인 것 같지만,
$(x_1-\bar{x})+(x_2-\bar{x})+ ... + (x_n-\bar{x})=0$ 이 되므로 $x_i 부터 x_{n-1}$까지만 알면 $x_n$은 종속적으로 계산됨, 즉 자유도는 표본분산의 자유도는 n-1

분산은 원래 n으로 나누는건데 표본분산을 불편추정량으로 만들어주기 위해서 n-1로 나눠줌 => 그러고 확인을 하니 n-1은 표본분산의 자유도가 됨