서로소 집합
- 서로소 집합(Disjoint Sets) 란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미.
서로소 집합 자료 구조
- 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
- 서로소 집합 자료구조는 두 종류의 연산을 지원.
- 합집합(union) : 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산.
- 찾기(find) : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산.
- 서로소 집합 자료구조는 합치기 차기(Union find)자료구조라고 불리기도 함.
여러 개의 합치기 연산이 주어졌을 때 동작과정
- 합치기(Union) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A,B를 확인합니다.
- 1) A와 B의 루트 노드 A',B'를 각각 찾습니다.
- 2) A'와 B'의 부모 노드로 설정합니다.
- 모든 합집합 (Union) 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복합니다.
서로소 집합 자료구조 : 기본적인 구현 방법
# 서로소 집합 자료 구조: 기본적인 구현 방법(Python)
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
if parent[x] != x:
return find_parent(parent, parent[x])
return x
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화
# 부토 테이블에서 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print("각 원소가 속한 집합:", end="")
for i in range(1, v + 1):
print(find_parent(parent, i), end=" ")
print()
# 부모 테이블 내용 출력하기
print("부모테이블: ", end="")
for i in range(1, v + 1):
print(parent[i], end=" ")서로소 집합 자료구조 : 기본적인 구현 방법의 문제점
- 합집합 연산이 편향되게 이루어지는 경우 찾기(Find)함수가 비효율적으로 동작함.
- 최악의 경우에는 find(찾기)함수가 모든 노드를 다 확인하게 되어 시간 복잡도가 O(v)입니다.
서로소 집합 자료구조 : 경로 압축
- 찾기(find) 함수를 최적화하기 위한 방법으로 경로 압축(path Compression)을 이용할 수 있습니다.
- 찾기(find)함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신합니다.
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기 def find_parent(parent, x): # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출 if parent[x] != x: parent[x] = find_parent(parent, parent[x]) # return find_parent(parent, parent[x]) return x - 즉 부모테이블에서 노드의 바로 위 부모 테이블을 가리키게 만든 것임.
- 찾기(find)함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신합니다.
서로소 집합을 활용한 사이클 판별
- 서로소 집합을 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있습니다
- 참고로 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있습니다.
사이클 판별 알고리즘 개요
- 각 간선을 하나씩 확인하여 두 노드의 루트 노드를 확인합니다.
- 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 합집합(Union) 연산을 수행합니다.
- 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것입니다.
- 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복합니다.
신장 트리
- 그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미
- 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 조건이기도 함.
- 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 조건이기도 함.
최소 신장 트리
예시
- N 개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우를 고려.
- 두 도시 A,B를 선택했을 때 A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치해야 함.
- 두 도시 A,B를 선택했을 때 A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치해야 함.
크루스칼 알고리즘
- 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘
- 그리디 알고리즘으로 분류됨.
크루스칼 알고리즘 동작과정
- 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬합니다.
- 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는 지 확인합니다.
- 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킵니다.
- 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함하지 않습니다.
- 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복합니다.
Python 코드
# 크루스칼 알고리즘
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a > b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화
# 모든 간성르 담을 리스트와 최종 비용을 담을 함수
edges = []
result = 0
# 부토 테이블에서 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
for i in range(e):
a, b, cost = map(int, input().split())
# 사이클이 발생한 경우 종료
edges.append((cost, a,b,))
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
cost,a,b = edge
# 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
if find_parent(parent,a) != find_parent(parent, b):
union_parent(parent, a,b)
result += cost
print(result)크루스칼 알고리즘 성능 분석
- 크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때, O(ELogE)의 시간 복잡도를 가집니다.
- 크루스칼 알고리즘에서 가장 많은 시간을 요구하는 곳은 간선의 정렬을 수행하는 부분입니다.
- 표준 라이브러리를 이용해 E개의 데이터를 정렬하기 위한 시간 복잡도는 O(ElogE)입니다.
위상 정렬
- 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것을 의미
진입차수와 진출 차수
- 진입차수(Indegree): 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
- 진출차수(Outdegree): 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수
위상 정렬 알고리즘 동작 과정(with Queue)
- 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
- 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
- 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.
- 새롭게 진입 차수가 0인 된 노드를 큐에 넣는다.
결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다.
위상 정렬의 특징
- 위상 정렬은 DAG에 대해서만 수행할 수 있습니다.
- DAG (Direct Acyclic Graph): 순환하지 않는 방향 그래프
- 위상 정렬에서는 여러 가지 답이 존재할 수 있습니다.
- 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러가지 답이 존재합니다.
- 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있습니다.
- 사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못합니다.
- 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있습니다.
위상 정렬 알고리즘 코드
# 위상 정렬 알고리즘
from collections import deque
v, e = map(int, input().split())
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for _ in range(v + 1)]
# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
a, b = map(int, input().split())
graph[a].append(b) # 정점 a에서 b로 이동 가능
# 진입 차수를 1 증가
indegree[b] += 1
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
q = deque()
for i in range(1, v + 1):
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 큐가 빌때까지 반복
while q:
now = q.popleft()
result.append(now)
# 해당 원소의 연결된 노드들의 진입차수에서 1을 빼기
for i in graph[now]:
indegree[i] -= 1
if not indegree[i]:
q.append(i)
# 위상 정렬을 수행한 결과 출력
for i in result:
print(i, end=" ")
topology_sort()
위상 정렬 알고리즘 성능 분석
- 위상 정렬을 위해 차례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차례대로 제거해야 합니다.
- 위상 정렬 알고리즘의 시간 복잡도는 O(v+e)입니다.
하나를 알고 그걸로 모든걸 관통한다.