[선형대수학(Linear Algebra)] 1. 벡터공간(1) 1.1 개론 ~ 1.3 부분공간

⭐시작!

들어가며

인공지능을 공부하면서, 아니 컴퓨터 공학을 공부하면서 느끼게 된 점은 수학이 필수라는 것이고 그중 선형대수의 중요성이 매우 높다는 것이다.
물론 대학 수업중에 공학선형대수학을 들었지만 제대로 듣지도 않고 학점을 딴다는 느낌으로만 들었고 그 개념자체가 현재 기억에 거의 없어서 다시 공부한다는 느낌으로 제대로 공부를 시작하려고 한다.

교재

공부를 할 교재를 고르는데 많은 시간이 걸리진 않았다. 아래의 조건을 만족시키는 것으로 바로 보인것이 이 교재이기 때문이다.

• 원서가 아닌 번역본이였으면 좋겠다.
• 쉽게쉽게 설명이 납득이 가면 좋겠다.

우선 나는 수학과 학부 수준 ~ 공대에서 정말 간단히 배우는 수준, 이 두 수준 사이의 학습을 원하기 때문에 그렇게 깊게 공부를 할 생각은 없다. 다만, 선형대수는 내 전공 특성상 매우 중요하기에 가능한 깊게 공부를 해 볼 생각이다.

추가로 할 말

시작 전 여기 벨로그는 내가 학습한 것을 간단히 정리한다는 생각으로 작성하는 것이라 증명을 최대한 적지 않을 것이고(물론 매우 중요하지만), 간단하게 작성하고 넘어갈 것이다.

벨로그에 무작정 길게 적는 것도 오래 걸리고 복습의 효율이 줄어들 것 같고, 증명은 때에 따라 다르긴 하지만 그 길이가 길어질 수 밖에 없는 경우가 매우 많기 때문이고 증명이 매우 많기 때문이다. 물론 증명이 중요하지 않다는 것이 아니다. 본인은 매우 중요하게 생각하고 증명을 하는 과정이 수학적 논리력을 높여준다고 생각이 들기 때문이다. 하지만 여기에는 작성하지 않을 것이고 궁금한 독자가 있다면 스스로 찾아보자. 본인은 책을 보면 그만이지만..

📖 1.1 개론

이 책의 첫번째 단원은 벡터공간이다. 말그대로 벡터공간에 대해 학습을 하게 된다.
먼저 가장 처음 개론 부분을 학습해보았다.

벡터가 무엇인지 설명한다.

벡터(vector)란

• 크기와 방향을 모두 가진 물리량
• 주로 화살표로 표현하며 벡터의 크기는 화살표의 길이로, 벡터가 작용하는 방향은 화살표의 방향으로 나타낸다.
• 크기와 방향만 고려하면 충분한 경우가 많아 벡터가 어디에 위치했는지와 무관하게 크기와 방향이 같으면 동일한 벡터로 생각한다.

두 벡터의 합(sum)
:= 평행사변형 법칙(parallelogram law)를 이용한다.

벡터 합의 평행사변형 법칙
:= 시점이 P로 일치하는 두 벡터 x, y의 합은 점 P에서 시작하는 벡터이고, 이는 x와 y를 이웃한 변으로 하는 평행사변형의 대각선으로 나타낸다.

쉽게 위 사진과 같이 평행사변형 법칙을 이해하면 좋습니다(평행사변형 맞습니다).

여기서 만약 P를 원점으로 보고 x벡터의 종점을 (a1, a2), y벡터의 종점을 (b1, b2)라 하면 x+y의 종점은 (a1 + b1, a2 + b2)가 됩니다.

그리고 벡터의 크기를 확대하거나 축소할 수도 있습니다. 벡터에 실수를 곱하는 스칼라 곱(scalar multiplication)을 하면 됩니다.

벡터 x에 스칼라 t배를 한 tx는 (ta1, ta2)의 종점을 가집니다. 음수면 180도 뒤집어 주면 됩니다.

벡터를 이용하여 직선의 방정식과 평면의 방정식을 공간에서 나타낼 수 있습니다.

종점이 A, B이고 시점이 O인 두 벡터를 각각 u, v라 하겠습니다.
그리고 시점이 A이고 종점이 B인 벡터를 w라 하겠습니다.
w = v - u가 됩니다.

직선의 방정식(두 점 A, B를 지날 때)
:= $x = u + tw = u + t(v-u)$ (단, t는 임의의 실수이고 x는 직선 위 임의의 점)

이번엔 평면의 방정식 입니다. 시점이 A이고 종점이 B, C인 벡터를 각각 u, v라 하겠습니다.

평면의 방정식(세 점 A, B, C를 포함하는 평면의 방정식)
:= $x = A + su + tv$ (단, s, t는 임의의 실수이고 x는 평면 위 임의의 점)

🔢 1.2 벡터공간

다음을 벡터공간이라고 합니다.

체 F에서의 벡터공간(vector space) 또는 선형공간(linear space) V는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 합과 스칼라 곱을 가지는 집합이다.

• 합(sum)은 V의 두 원소 $x, y$에 대하여 유일한 원소 $x + y \in$ V를 대응하는 연산이다. 이때, $x + y$는 $x$와 $y$의 합이라 한다.
• 스칼라 곱(scalar multiplication)은 체 F의 원소 $a$와 벡터공간 V의 원소 $x$마다 유일한 원소 $ax \in$ V를 대응하는 연산이다. 이때, $ax$는 $a$와 $x$의 스칼라 곱(product)이라 한다.
  
  (VS1) 모든 $x, y \in$ V에 대하여 $x+y=y+x$이다. (덧셈의 교환법칙)
  (VS2) 모든 $x, y, z \in$ V에 대하여 $(x+y)+z=x+(y+z)$이다. (덧셈의 결합법칙)
  (VS3) 모든 $x\in$ V에 대하여 $x+0=x$인 $y\in$ V가 존재한다.
  (VS4) 각 $x\in$ V마다 $x+y=0$인 $y\in$ V가 존재한다.
  (VS5) 각 $x\in$ V에 대하여 $1x=x$이다.
  (VS6) 모든 $a, b \in F$와 모든 $x\in$ V에 대하여 $(ab)x=a(bx)$이다.
  (VS7) 모든 $a \in F$와 모든 $x,y\in$ V에 대하여 $a(x+y)=ax+ay$이다.
  (VS8) 모든 $a, b \in F$와 모든 $x\in$ V에 대하여 $(a+b)x=ax+bx$이다.

체 F의 원소는 스칼라, 벡터공간 V의 원소는 벡터라 합니다.
이 책에서 다루는 벡터공간의 체는 주로 실수 집합 $R$ 또는 복소수 집합 $C$입니다.

벡터공간을 정의하기 위해서는 단순히 집합과 원소뿐만 아니라 두 연산도 정확히 서술해야 합니다.

교재에서는 행렬, 수열, 다항식이 벡터공간을 정의한다는 것을 보이는 데 여기서는 넘어가겠습니다.

정리 1 | 벡터 합의 소거법칙
$x, y,z \in$ V이고 $x+z=y+z$일 때, $x=y$이다.

따름 정리 1 | (VS3)을 만족하는 벡터 $0$은 유일하다.

따름 정리 2 | (VS4)를 만족하는 벡터 $y$는 유일하다.

정리 2 | 모든 벡터공간 V에 대하여 다음이 성립한다.
1. 모든 벡터 $x$에 대하여 $0x=0$이다.
2. 모든 스칼라 $a$와 모든 벡터 $x$에 대하여 $(-a)x = -(ax) = a(-x)$이다.
3. 모든 스칼라 $a$에 대하여 $a0 = 0$이다.

증명은 생략하겠습니다.

💡1.3 부분공간

정의 | F-벡터공간 V의 부분집합 W를 생각하자. 이 부분집합 W가 V에서 정의한 합과 스칼라 곱을 가진 F-벡터공간일 때, V의 부분공간(subspace)이라 한다.

모든 벡터공간 V에 대하여 V와 {0}은 부분공간이다. 특히 {0}은 점공간인 부분궁간(zero subspace)이라 한다.

부분집합 W가 V의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음 4가지 성질을 만족하는 것이다.

• 성질 1 : 모든 $x\in$ W, $y\in$ W에 대하여 $x+y\in$ W이다.(W는 덧셈에 대하여 닫혀있다).
• 성질 2 : 모든 $c\in F$와 모든 $x\in$ W에 대하여 $cx\in$ W이다.(W는 스칼라 곱에 대하여 닫혀있다).
• 성질 3 : W는 영벡터를 포함한다.
• 성질 4 : W에 속한 모든 벡터의 덧셈에 대한 역벡터는 W의 원소이다.

부분공간인지 확인할 때 성질 4는 굳이 확인할 필요가 없다.

m x n 행렬 A의 전치행렬(transpose matrix) At는 A의 행과 열을 바꾸어 얻은 n x m 행렬이다. 즉, (At)ij = Aji이다.

대칭행렬(symmetric matrix)은 At = A인 행렬이다. 대칭행렬은 반드시 정사각행렬이어야 한다.

대각성분 아래의 모든 성분이 0이면 상삼각행렬 또는 위삼각행렬(upper triangular matrix)이라 한다. 즉, i > j일 때 Aij = 0 인 행렬이다.

대각성분을 제외한 모든 성분이 0인 정사각행렬을 대각행렬(diagonal matrix)이라 한다. 다시 말해, $i\ne j$일 때 Mij=0인 n x n 행렬 M이다.

n x n 행렬 M의 대각합(trace)은 모든 대각성분의 합이고, tr(M)으로 표기한다.

정리 : 벡터공간 V의 부분공간들을 생각하자. 이 부분공간들의 임의의 교집합은 V의 부분공간이다.

증명은 생략하겠습니다.
행렬의 기본 특징들은 기본적인 것이니 확실히 알고 넘어가는 것이 좋을 것 같습니다.

😊 마무리

1장 자체가 내용이 많아서 중간에 한번 끊었다가 가기 위해 1.3까지만 작성해 보았습니다. 벡터가 무엇인지, 행렬의 가장 간단한 명칭/분류, 그리고 벡터공간이 무엇인지, 부분공간이 무엇인지를 알았습니다.

아마 가장 중요한 것은 벡터공간과 부분공간의 정의 일 것이라고 생각합니다. 교환/결합/분배 법칙과 항등원과 역원의 존재, 그리고 스칼라 곱과 합이 닫혀있다는 것. 이것들을 기억하면 될 것 같습니다.

다음 1.4~1.6까지의 내용은 일차결합, 일차종속, 일차독립, 그리고 기저에 대한 내용으로 매우 중요하다고 볼 수 있고 아마 양도 많을 것입니다. 다만 증명을 적지 않은 관계로 이 포스팅보다 글 자체의 길이는 적을 수 있는데 증명은 필히 공부해야 할 것입니다.

그리고 1.7은 무한차원 벡터공간에서 기저가 존재함을 증명하는 것인데.. 내용이 쉽지는 않지만 다루고 넘어가는 것이 좋을 것 같아서 매우 짧게 포스팅할것 같습니다.

쉽지 않은 내용들이라 저도 열심히 해야겠습니다. 화이팅입니다!