[해석학(Analysis)] 1. 페아노 공리

⭐시작

서론

원래 컴퓨터 공학과인 나는 수학이라는 학문 그 자체에 관심이 없었다. 하지만 사실상 필수인 선형대수를 다시 제대로 공부하기 위해 찾아보다 미적분학, 그리고 인공지능을 깊게 공부하려면 미분기하학까지 쓰일 수 있다는 것을 알았다.

그래서 현재 수학관련 공부를 수학과 학부수준에서 고등학교 과정 그 사이정도로 학습을 하자 싶어 선형대수와 미분기하의 선이수격인 해석학관련 교재를 탐색후 구매하고 공부를 하기 시작하였다.

공부를 하며 수학이라는 학문이 나에게 너무 재미있다고 느꼈다. 특히 해석학이 그랬다. 현재는 페아노 공리까지만 학습하긴 하였는데 그냥 자연수라는 것이 무엇인지 수학적으로 학습하는 것이 너무 재미있었다.

그리고 그냥 공부하기 아쉬워 이 벨로그에 간단히 남겨보기로 하였다.

교재

우선 해석학은 좋은 교재가 너무 많다. 하지만 많은 만큼 들어가는 깊이와 범위가 다르다. 이리저리 찾아보다가 결국 고르게 된 것은 테렌스 타오(Terence Tao)의 해석학이였다.
이 책을 고른 이유는 다음과 같다.

1. 수학의 기초부터 시작한다.
2. 서술이 잘 되어있어서 이해하기 쉽다.
3. 한글 번역본이 있고 그 번역 상태가 좋다.

원래 깊이 공부하려면 원서가 낫지만 나는 수학과 학부 수준까지 깊이 공부할 생각은 없고 영어를 번역하면서 까지 공부를 하기엔 시간도 많이 걸릴거 같아서 한글 번역본으로 학습하기로 결정하였다.

📖해석학 소개

첫번째 세션은 해석학이 무엇인지에 관한 것이였다. 간단히 저자가 적은 것을 요약하면

1. 실해석학(real analysis)은 실수, 실수열과 급수, 실숫값함수를 분석하는 학문이고 이 책은 최우등 학부생을 위한 실해석학 입문서이다.

2. 해석학(analysis)은 수학적 대상의 질적 및 양적 행동을 정확하고 날카롭게 파악하는 데 중점을 두고 수학적 대상에 관해 엄밀한 연구를 하는 학문이며, 그중에서도 실해석학은 미분적분학(calculus)의 기초가 되고 이론적 토대를 구성한다.

3. 해석학은 "어떻게"가 아닌 "왜"에 대해서 학습을 하는 것이다.

4. 해석학을 학습하면 '분석적 사고방식'을 개발할 수 있는데, 새로운 수학 규칙을 접하거나 기존 규칙으로 충분히 설명되지 않는 새로운 상황을 다룰 때 분석적 사고방식이 큰 힘이 되어줄 것이다.

이렇게 요약 가능하다.

간단히 요약한 것이 이런 것이고 책에서는 실제로 다양한 예시를 들어서 10쪽을 이용해 자세히 설명하고 있다. 이제 해석학을 학문적으로 시작해보겠다.

🔢페아노 공리

수체계와 순환 논리의 오류

우선 수 체계를 설명한다. 수 체계는 수가 복잡해지는 순서대로 자연수 $\mathbb{N}$, 정수 $\mathbb{Z}$, 유리수 $\mathbb{Q}$, 실수 $\mathbb{R}$이 있다. 복소수 $\mathbb{C}$처럼 다른 수체계도 존재하지만 지금은 고려하지 않겠다.

자연수 {0, 1, 2, ...}는 가장 원시적인 수체계이지만 정수를 구성하는데 사용되고, 정수는 유리수를 구성하는 데, 유리수는 실수를 구성하는데, 실수는 결국 복소수를 구성하는 데 사용된다. 그러므로 자연수부터 들여다 봐야 하는데 그럼 "어떻게 자연수를 실제로 정의할까?"

우선 순환 논리(circularity)를 피하기 위해서 알려진 사실을 이용하지 않는 방법이 필요하다. 순환 논리란 A를 증명하기 위해 더 발전된 형태의 B를 이용한 뒤, 사실 B를 증명하기 위해 다시 사실 A를 이용하는 것이다. 즉 자연수를 정의하기 위해선 더하기, 빼기 같은 사칙연산의 정의를 이용하면 안된다.

페아노 공리

페아노 공리(Peano axiom)은 주세페 페아노가 창시한 자연수를 정의하기 위한 방법이다.

우선 자연수를 간단히 정의해 보자.

자연수(natural number)는 다음과 같은 집합 $\mathbb{N}$의 임의의 원소를 의미한다.
$\mathbb{N}$ := {0, 1, 2, 3, ...}
이때 집합 $\mathbb{N}$은 0에서 시작하여 무한히 앞으로 세면서 생성되는 모든 수로 이루어져 있다. $\mathbb{N}$을 자연수 집합이라고 한다.

이 정의에 따르면 "자연수는 무엇일까?"라는 질문에 "자연수는 집합 $\mathbb{N}$의 임의의 원소이다"라고 답할 수 있다.

하지만 만족스러운 답은 아니다. "0으로 되돌아가지 않고 무한히 계속 셀 수 있음을 어떻게 알 수 있을까?", "덧셈이나 곱셈, 거듭제곱과 같은 연산을 어떻게 수행할 수 있을까?"와 같은 질문에 답을 낼 수 없다.

우선 둘째 문제를 해결해 보면 간단한 연산을 이용하여 복잡한 연산을 정의할 수 있다. 거듭제곱은 반복된 곱셈이며 곱셈은 반복된 덧셈이다. 그렇다면 덧셈은 어떨까? 덧셈은 앞으로 세거나 증가하는 반복 연산에 불과하고 증가시키는 연산은 더 간단한 연산으로 축소할 수 없는 근본적인 연산으로 보인다.

자연수를 정의하기 위해 두 가지 개념을 사용한다.

1. 영을 나타내는 수인 0을 사용한다.
2. 다음수 연산(successor operation) 또는 증가연산(increment operation)을 사용한다.

그리고 컴퓨터 언어의 기호를 사용하여 n의 다음수를 n++라고 나타낸다.

그러므로 $\mathbb{N}$은 0, 0++, (0++)++ 와 같은 수학적 대상들을 포함해야 한다.

공리 1 | 0은 자연수이다.

공리 2 | n이 자연수이면 n++도 자연수이다.

조금더 쉽게 표현하면

수 0++를 1로 정의하고, 수 (0++)++를 2라 정의한다. (즉, 1 := 0++, 2 := (0++)++ 등이다.)

3은 자연수이다

위 명제를 증명해보자.

<증명> 공리 1에 따르면 0은 자연수 이고 공리 2에 따르면 0++ = 1은 자연수이다. 이렇게 공리 2를 반복적으로 이용하면 2++ = 3은 자연수이다.

위 정의들로 자연수를 충분히 정의한것 같지만 그렇지 않다.
아래의 예를 보자.

수 0, 1, 2, 3으로 구성되어 있고 3에 증가연산을 적용하면 0으로 돌아가는 수체계를 생각하자. 즉 3++는 0과 같다. 즉 4와 0이 같아진다.

이러한 되돌아가는(wrap-around) 문제를 방지하기 위해 새로운 공리를 추가한다.

공리 3 | 0은 어떤 자연수의 다음수도 될 수 없다. 즉, 모든 자연수 n에 대해 n++ =! 0이다. (=!는 같지 않다라는 것을 나타낸 것이다.)

이를 토대로 아래의 명제를 증명해보자.

4는 0과 다르다

<증명> 정의로부터 4 = 3++이다. 공리 1과 2에 의해 3은 자연수이고 공리 3에 의해 3++ =! 0이다. 즉, 4 =! 0이다.

하지만 다음과 같으면 어떨까?

0, 1, 2, 3, 4로 구성되어 있고 증가 연산이 4에서 '천장'에 부딪히는 수체계를 생각하자. 즉 4++ = 4이다.

이럴땐 아래와 같은 공리를 추가하면 해결된다.

공리 4 | 서로 다른 자연수는 서로 다른 다음수를 가진다. 즉, 두 자연수 n과 m이 n =! m 이면, n++ =! m++이다.

위와 같이 정의해도 한 가지 문제가 남아있다. 이 수체계에 다른 형태의 '변이'원소가 존재할 수 있다.

$\mathbb{N}$ 수체계에 정수오 반정수로 구성된 집합이라면?
$\mathbb{N}$ := {0, 0.5, 1, 1.5, 2, ...}
이 같은 경우에도 위의 공리를 모두 만족한다.

이럴땐 수학적 귀납법 원리를 이용하면 된다.

공리 5 | 수학적 귀납법 원리 (principle of mathematical induction)
P(n)이 자연수 n과 관련있는 임의의 성질(property)이라고 하자. P(0)이 참이라 가정하고, P(n)이 참일 때마다 P(n++) 또한 참이라고 가정하자. 그러면 모든 자연수 n에 대해 P(n)은 참이다.

위의 추론으로는 P(0.5)가 참이라는 결론에 도달하지 못한다. 그러므로 공리 5는 0.5와 같은 '불필요한' 원소를 포함하는 수체계에서 성립하면 안된다.

여기서 공리1 ~ 공리5는 자연수에 대한 페아노 공리(Peano axiom)라고 한다.

즉 다음과 같이 가정할 수 있다.

공리1 ~ 공리5를 만족하는 수체계 $\mathbb{N}$이 존재한다. $\mathbb{N}$의 원소를 자연수(natural number)라고 한다.

현대 해석학이 이룩한 뛰어난 업적은 바로 원시적인 공리 5개와 집합론 공리 몇 가지만으로 시작하여 다른 모든 수체계를 구축하고, 함수를 만들었으며, 모든 대수와 미분적분학을 만들어 냈다는 것이다.

<참고>
각각의 자연수는 유한하지만 자연수 집합은 무한하다. 즉, $\mathbb{N}$자체는 무한집합이지만 개별로 보면 유한인 원소로 구성되어 있다. (전체는 그 어떤 일부분보다 크다.)
즉, 자연수는 무한에 접근할 수 있지만 실제로는 무한에 절대 도달할 수 없으므로 무한대는 자연수가 아니다.

공리를 이용하여 얻는 결과 중 하나로 수열의 재귀적(recursive) 정의가 있다.

명제 | 재귀적 정의
각각의 자연수 n에 대해 자연수에서 자연수로 가는 어떤 함수 fn : $\mathbb{N}$ -> $\mathbb{N}$이 존재하고, c가 자연수라고 하자. 그러면 자연수 n마다 유일한 자연수 an을 배정해서 a0 = c이고 an++=fn(an)을 만족하게 할 수 있다.

<증명>
귀납법을 이용하자. 먼저 이 절차가 a0에 단일값, 즉 c를 지정함을 확인하라. 이제 이 절차가 an에 단일값을 지정한다는 점을 귀납적으로 가정하자. 그러면 an++에 단일값이 an++ := fn(an)으로 지정된다. 이로써 귀납법 증명을 완료할 수 있다. 더불어 자연수 n마다 an을 정의할 수 있는데, 이는 an마다 단일값을 배정하는 방식이다.

재귀적 정의는 매우 강력한 도구이다.

😊마무리

수학에서 가장 기본이 되는 수체계인 자연수에 대해 자연수 체계가 무엇인지 정의하는 것을 학습하였다. 가장 기초적인 부분의 존재를 증명, 정의하는 것이라 아무 생각없이 풀기에는 매우 어려웠는데 책의 내용데로 차근차근 아주 작은것부터 정의, 이용하니 어느정도 쉽게 풀어나간 것 같다.

어렵기도 어렵고 내가 아는 수학이랑도 많이 달랐는데 그만큼 재미있었다. 뭔가 수학보다는 철학이나 논리학 공부한 느낌..?

다음 절은 덧셈과 곱셈을 정의하는 것 같은데 기대된다.

+벨로그에 정리해서 적으려니 너무 오래걸린다.. 다음부터는 최대한 줄여봐야겠다..!